ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.115 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей \((x-1)^2 + (y-6)^2 = 3\) и \((x+1)^2 + y^2 = 7\).

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса \( r \) с центром в точке \( C(x_0; y_0) \) имеет вид:
\((x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2\).

Центры окружностей:
\((x — 1)^2 + (y — 6)^2 = 3\) — центр в точке \((1; 6)\),
\((x + 1)^2 + y^2 = 7\) — центр в точке \((-1; 0)\).

Уравнение прямой:
\(y = kx + b\), где \(k, b\) — числа.

Подставляем координаты центров в уравнение прямой:
\(\begin{cases} 6 = k \cdot 1 + b \\ 0 = k \cdot (-1) + b \end{cases}\).

Решаем систему:
\(\begin{cases} 6 = k + b \\ 0 = -k + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6 = 2b \\ k = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 3 \\ k = 3 \end{cases}\).

Уравнение прямой:
\(y = 3x + 3\).

В прямоугольной системе координат уравнение окружности с радиусом \( r \) и центром в точке \( C(x_0; y_0) \) записывается как \( (x — x_0)^2 + (y — y_0)^2 = r^2 \). Это уравнение отражает геометрическое свойство, что расстояние от любой точки \( (x; y) \) на окружности до центра \( C \) равно радиусу \( r \). В данном случае нам даны две окружности: первая с уравнением \( (x — 1)^2 + (y — 6)^2 = 3 \), вторая с уравнением \( (x + 1)^2 + y^2 = 7 \). Из этих уравнений можно определить координаты центров окружностей: для первой это точка \( (1; 6) \), а для второй — \( (-1; 0) \).

Далее нужно найти уравнение прямой, проходящей через центры этих окружностей. Уравнение прямой в прямоугольной системе координат имеет вид \( y = kx + b \), где \( k \) — угловой коэффициент, показывающий наклон прямой, а \( b \) — смещение по оси \( y \). Чтобы найти \( k \) и \( b \), подставим координаты центров окружностей в уравнение прямой. Получаем систему уравнений:
\( \begin{cases} 6 = k \cdot 1 + b \\ 0 = k \cdot (-1) + b \end{cases} \),
где первая строка соответствует точке \( (1; 6) \), а вторая — точке \( (-1; 0) \).

Решая эту систему, сначала выразим \( b \) из второго уравнения: \( 0 = -k + b \Rightarrow b = k \). Подставим это в первое уравнение: \( 6 = k + b = k + k = 2k \), откуда \( k = \frac{6}{2} = 3 \). Тогда \( b = k = 3 \). Таким образом, коэффициенты уравнения прямой равны \( k = 3 \) и \( b = 3 \), и уравнение прямой принимает вид \( y = 3x + 3 \). Это уравнение описывает линию, проходящую через центры данных окружностей.