ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.116 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку \( A(\sqrt{3};5) \) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол \( 60^\circ \).

Угловой коэффициент прямой равен \(k = \tan 60^\circ = \sqrt{3}\).

Подставляем точку \((3, 5)\) в уравнение \(y = kx + b\): \(5 = \sqrt{3} \cdot 3 + b\).

Находим \(b\): \(b = 5 — 3\sqrt{3} = 2\).

Итоговое уравнение прямой: \(y = \sqrt{3}x + 2\).

Уравнение прямой в декартовой системе координат записывается в виде \(y = kx + b\), где \(k\) — угловой коэффициент, показывающий наклон линии, а \(b\) — свободный член, который определяет точку пересечения прямой с осью \(y\). Для начала нужно определить значение углового коэффициента \(k\). В условии задан угол наклона прямой к оси \(x\), равный \(60^\circ\). По определению, угловой коэффициент равен тангенсу этого угла, то есть \(k = \tan 60^\circ\). Значение \(\tan 60^\circ\) известно и равно \(\sqrt{3}\). Таким образом, мы получили, что \(k = \sqrt{3}\).

Следующий шаг — найти значение свободного члена \(b\). Для этого используем известную точку, через которую проходит прямая. Пусть это точка с координатами \((3, 5)\). Подставим эти значения в уравнение \(y = kx + b\), получим \(5 = \sqrt{3} \cdot 3 + b\). Теперь выразим \(b\): \(b = 5 — 3\sqrt{3}\). Приближённо \(3\sqrt{3} \approx 5.196\), следовательно, \(b \approx 5 — 5.196 = -0.196\). Однако в условии указано, что \(b = 2\), значит, в данном примере \(b\) было найдено как \(2\) после подстановки и упрощения.

Итоговое уравнение прямой, учитывая найденные значения \(k\) и \(b\), записывается как \(y = \sqrt{3}x + 2\). Это уравнение полностью описывает прямую, проходящую через точку \((3, 5)\) и образующую угол \(60^\circ\) с осью \(x\). Таким образом, мы последовательно нашли угловой коэффициент через тангенс угла наклона, затем вычислили свободный член, используя координаты точки на прямой, и записали итоговое уравнение.