ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.119 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник \( ABCD \) с вершинами в точках \( A(-1;5) \), \( B(4;6) \), \( C(3;1) \), \( D(-2;0) \) является ромбом.

Найдём векторы сторон:
\( \overrightarrow{AB} = (4 — (-1); 6 — 5) = (5; 1) \),
\( \overrightarrow{BC} = (3 — 4; 1 — 6) = (-1; -5) \),
\( \overrightarrow{CD} = (-2 — 3; 0 — 1) = (-5; -1) \),
\( \overrightarrow{DA} = (-1 — (-2); 5 — 0) = (1; 5) \).

Вычислим длины сторон:
\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \),
\( |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{26} \),
\( |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} \),
\( |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26} \).

Все стороны равны, значит четырёхугольник может быть ромбом.

Найдём середины диагоналей:
\( M_{BD} = \left(\frac{4 + (-2)}{2}; \frac{6 + 0}{2}\right) = (1; 3) \),
\( M_{AC} = \left(\frac{-1 + 3}{2}; \frac{5 + 1}{2}\right) = (1; 3) \).

Диагонали пересекаются и делятся пополам.

Проверим перпендикулярность диагоналей:
\( \overrightarrow{BD} = (-2 — 4; 0 — 6) = (-6; -6) \),
\( \overrightarrow{AC} = (3 — (-1); 1 — 5) = (4; -4) \),
\( \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = (-6) \cdot 4 + (-6) \cdot (-4) = -24 + 24 = 0 \).

Диагонали перпендикулярны.

Следовательно, четырёхугольник с заданными вершинами — ромб.

Рассмотрим четырёхугольник с вершинами \( A(-1; 5) \), \( B(4; 6) \), \( C(3; 1) \), \( D(-2; 0) \). Для того чтобы доказать, что этот четырёхугольник является ромбом, нужно проверить несколько свойств: равенство всех сторон, пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам, и перпендикулярность диагоналей.

Сначала найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется как разность координат точки \( B \) и \( A \), то есть \( (4 — (-1); 6 — 5) = (5; 1) \). Аналогично, \( \overrightarrow{BC} = (3 — 4; 1 — 6) = (-1; -5) \), \( \overrightarrow{CD} = (-2 — 3; 0 — 1) = (-5; -1) \), \( \overrightarrow{DA} = (-1 — (-2); 5 — 0) = (1; 5) \). Эти векторы показывают направления и длины сторон.

Далее вычислим длины этих векторов, используя формулу длины вектора: \( |\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \). Для \( \overrightarrow{AB} \) это будет \( \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \). Аналогично для \( \overrightarrow{BC} \) длина равна \( \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \), для \( \overrightarrow{CD} \) — \( \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \), и для \( \overrightarrow{DA} \) — \( \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \). Все стороны равны, что подтверждает первое свойство ромба.

Теперь проверим, что диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Найдём середины диагоналей \( BD \) и \( AC \). Середина отрезка вычисляется как среднее арифметическое координат его концов. Для \( BD \) получаем \( \left(\frac{4 + (-2)}{2}; \frac{6 + 0}{2}\right) = (1; 3) \), для \( AC \) — \( \left(\frac{-1 + 3}{2}; \frac{5 + 1}{2}\right) = (1; 3) \). Поскольку середины совпадают, диагонали пересекаются в точке \( O(1; 3) \) и делятся пополам.

Найдём координаты векторов диагоналей: \( \overrightarrow{BD} = (-2 — 4; 0 — 6) = (-6; -6) \) и \( \overrightarrow{AC} = (3 — (-1); 1 — 5) = (4; -4) \). Чтобы проверить, пересекаются ли диагонали под прямым углом, вычислим их скалярное произведение по формуле \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x v_x + u_y v_y \). Для диагоналей это будет \( (-6) \cdot 4 + (-6) \cdot (-4) = -24 + 24 = 0 \). Нулевое скалярное произведение означает, что угол между диагоналями равен 90°, то есть они перпендикулярны.

Таким образом, четырёхугольник с заданными вершинами имеет равные стороны, диагонали пересекаются в точке, которая делит их пополам, и диагонали перпендикулярны друг другу. Это полностью соответствует свойствам ромба, значит, данный четырёхугольник является ромбом.