ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из углов прямоугольного треугольника равен 15°. Докажите, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.

Док-ть: \(CM = \frac{1}{4} AB\)

Док-во.

1. \(CH = \frac{1}{2} AB\) \(\Rightarrow CM = \frac{1}{4} AB\), т. д.

Пусть треугольник \(ABC\) прямоугольный, угол \(C = 15^\circ\), гипотенуза \(AB\), высота \(CM\) проведена к гипотенузе. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: \(CM = \frac{a \cdot b}{AB}\), где \(a\) и \(b\) — катеты.

Обозначим \(AC = a\), \(BC = b\), \(AB = c\). Из тригонометрии: если угол \(C = 15^\circ\), то, например, \(a = c \cdot \sin 15^\circ\) и \(b = c \cdot \cos 15^\circ\). Тогда \(CM = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{c \cdot \sin 15^\circ \cdot c \cdot \cos 15^\circ}{c} = c \cdot \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ\).

Вычислим: \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4}\), \(\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\). Тогда произведение:
\(CM = c \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = c \cdot \frac{(\sqrt{6})^2 — (\sqrt{2})^2}{16} = c \cdot \frac{6 — 2}{16} = c \cdot \frac{4}{16} = c \cdot \frac{1}{4}\).

Следовательно, высота, проведённая к гипотенузе, действительно составляет четверть гипотенузы: \(CM = \frac{1}{4} AB\).