ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.120 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник \( ABCD \) с вершинами в точках \( A(2;-2) \), \( B(1;2) \), \( C(-3;1) \), \( D(-2;-3) \) является прямоугольником.

Вычислим координаты векторов:
\(\overrightarrow{AB} = (1 — 2; 2 + 2) = (-1; 4)\),
\(\overrightarrow{BC} = (-3 — 1; 1 — 2) = (-4; -1)\),
\(\overrightarrow{CD} = (-2 + 3; -3 — 1) = (1; -4)\),
\(\overrightarrow{DA} = (2 + 2; -2 + 3) = (4; 1)\).

Длины векторов:
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}\),
\(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}\),
\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}\),
\(|\overrightarrow{DA}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}\).
Все стороны равны.

Скалярное произведение:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(-4) + 4(-1) = 0\),
\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-4)(1) + (-1)(-4) = 0\),
\(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 1 \cdot 4 + (-4) \cdot 1 = 0\),
\(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 4(-1) + 1 \cdot 4 = 0\).
Все углы прямые.

Четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами \(A(2; -2)\), \(B(1; 2)\), \(C(-3; 1)\), \(D(-2; -3)\) является прямоугольником.

Для начала найдём координаты векторов, которые соответствуют сторонам четырёхугольника \(ABCD\). Координаты точек даны: \(A(2; -2)\), \(B(1; 2)\), \(C(-3; 1)\), \(D(-2; -3)\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) вычисляется как разность координат точки \(B\) и точки \(A\), то есть \( (1 — 2; 2 — (-2)) = (-1; 4) \). Аналогично, \(\overrightarrow{BC} = (-3 — 1; 1 — 2) = (-4; -1)\), \(\overrightarrow{CD} = (-2 — (-3); -3 — 1) = (1; -4)\), \(\overrightarrow{DA} = (2 — (-2); -2 — (-3)) = (4; 1)\). Таким образом, мы получили все четыре вектора, направленные по сторонам четырёхугольника.

Далее вычислим длины этих векторов, чтобы проверить равенство сторон. Длина вектора \(\overrightarrow{v} = (x; y)\) находится по формуле длины: \( |\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \). Для \(\overrightarrow{AB}\) это будет \( \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \). Аналогично для \(\overrightarrow{BC}\): \( \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \), для \(\overrightarrow{CD}\): \( \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \), и для \(\overrightarrow{DA}\): \( \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \). Все стороны равны по длине, что соответствует свойству прямоугольника, где противоположные стороны равны.

Чтобы убедиться, что углы четырёхугольника прямые, найдём скалярные произведения соседних векторов. Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a} = (a_1; a_2)\) и \(\overrightarrow{b} = (b_1; b_2)\) вычисляется по формуле \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \). Для угла при вершине \(B\) считаем \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(-4) + 4(-1) = 4 — 4 = 0\), что означает, что угол \(ABC\) равен \(90^\circ\). Аналогично \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-4)(1) + (-1)(-4) = -4 + 4 = 0\), угол \(BCD\) прямой. Для угла \(CDA\): \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 1 \cdot 4 + (-4) \cdot 1 = 4 — 4 = 0\), и для угла \(DAB\): \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 4(-1) + 1 \cdot 4 = -4 + 4 = 0\). Все углы равны \(90^\circ\).

Таким образом, четырёхугольник с вершинами \(A(2; -2)\), \(B(1; 2)\), \(C(-3; 1)\), \(D(-2; -3)\) имеет равные стороны и все углы прямые, что доказывает, что он является прямоугольником.