ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.121 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \( A(-2;1) \) и \( B(2;-3) \). Найдите уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой \( AB \) и пересекает отрезок \( AB \) в точке \( N \) такой, что \( AN : NB = 3 : 1 \).

Найдём координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \):
\( \overrightarrow{AB} = (2 — (-2); -3 — 1) = (4; -4) \).

Найдём координаты точки \( N \):
\( x_N = \frac{-2 + \frac{3}{1} \cdot 2}{1 + \frac{3}{1}} = \frac{-2 + 6}{4} = 1 \),
\( y_N = \frac{1 + \frac{3}{1} \cdot (-3)}{1 + \frac{3}{1}} = \frac{1 — 9}{4} = -2 \).
Таким образом, \( N(1; -2) \).

Найдём уравнение прямой \( m \), перпендикулярной \( AB \), проходящей через точку \( N \):
\( 4(x — 1) + (-4)(y + 2) = 0 \),
\( 4x — 4 — 4y — 8 = 0 \),
\( 4y = 4x — 12 \),
\( y = x — 3 \).

Ответ: \( y = x — 3 \).

Для начала найдём координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \). Вектор направлен из точки \( A(-2; 1) \) в точку \( B(2; -3) \). Чтобы найти координаты вектора, нужно вычесть координаты начальной точки из координат конечной:
\( \overrightarrow{AB} = (x_B — x_A; y_B — y_A) = (2 — (-2); -3 — 1) = (4; -4) \).
Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AB} \) имеет координаты \( (4; -4) \), что означает, что он сдвигается вправо на 4 единицы и вниз на 4 единицы.

Далее вычислим координаты точки \( N \), которая лежит на отрезке \( AB \) и делит его в отношении, заданном числом \( \frac{3}{1} \). Формулы для координат точки деления отрезка по внутреннему делению таковы:
\( x_N = \frac{x_A + \frac{m}{n} x_B}{1 + \frac{m}{n}} \),
\( y_N = \frac{y_A + \frac{m}{n} y_B}{1 + \frac{m}{n}} \),
где \( m = 3 \), \( n = 1 \). Подставляем значения:
\( x_N = \frac{-2 + \frac{3}{1} \cdot 2}{1 + \frac{3}{1}} = \frac{-2 + 6}{4} = 1 \),
\( y_N = \frac{1 + \frac{3}{1} \cdot (-3)}{1 + \frac{3}{1}} = \frac{1 — 9}{4} = -2 \).
Таким образом, точка \( N \) имеет координаты \( (1; -2) \).

Теперь найдём уравнение прямой \( m \), которая перпендикулярна вектору \( \overrightarrow{AB} \) и проходит через точку \( N \). Коэффициенты направляющего вектора \( \overrightarrow{AB} \) — это \( (4; -4) \). Для прямой, перпендикулярной \( AB \), её направляющий вектор будет иметь координаты, которые являются нормалью к \( \overrightarrow{AB} \), то есть \( (4; -4) \) — нормальный вектор. Уравнение прямой в нормальной форме:
\( 4(x — x_N) + (-4)(y — y_N) = 0 \),
подставляем \( x_N = 1 \), \( y_N = -2 \):
\( 4(x — 1) — 4(y + 2) = 0 \).
Раскроем скобки:
\( 4x — 4 — 4y — 8 = 0 \),
сгруппируем:
\( 4x — 4y — 12 = 0 \),
выразим \( y \):
\( 4y = 4x — 12 \),
\( y = x — 3 \).
Это уравнение прямой, перпендикулярной \( AB \) и проходящей через точку \( N \).

Ответ: \( y = x — 3 \).