ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.126 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \( \vec{c} = 2\vec{a} — 3\vec{b} \). Найдите \( |\vec{c}| \), если \( \vec{a} =(-1;1) \), \( \vec{b} = (-2;3) \).

Выполним умножение: \((\vec{d} — 2\vec{b})(\vec{d} + \vec{b}) = \vec{d}^2 + \vec{d}\vec{b} — 2\vec{d}\vec{b} — 2\vec{b}^2 = \vec{d}^2 — \vec{d}\vec{b} — 2\vec{b}^2\).

Вычислим \(\vec{d}^2\): \(\vec{d}^2 = |\vec{d}|^2 = \sqrt{2}^2 = 2\).

Вычислим \(\vec{d}\vec{b}\): \(\vec{d}\vec{b} = |\vec{d}|\cdot|\vec{b}|\cos(\angle(\vec{d}, \vec{b})) = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos 135^\circ = \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1\).

Вычислим \(\vec{b}^2\): \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1^2 = 1\).

Подставим значения: \(\vec{d}^2 — \vec{d}\vec{b} — 2\vec{b}^2 = 2 — (-1) — 2 \cdot 1 = 2 + 1 — 2 = 1\).

Ответ: 1.

Рассмотрим выражение \((\vec{d} — 2\vec{b})(\vec{d} + \vec{b})\). Для начала раскроем скобки, используя распределительный закон умножения для векторных произведений. Получаем сумму четырех слагаемых: \(\vec{d} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{b} — 2\vec{b} \cdot \vec{d} — 2\vec{b} \cdot \vec{b}\). Заметим, что \(\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot \vec{b}\), так как скалярное произведение коммутативно. Тогда выражение можно переписать как \(\vec{d}^2 + \vec{d} \cdot \vec{b} — 2 \vec{d} \cdot \vec{b} — 2 \vec{b}^2 = \vec{d}^2 — \vec{d} \cdot \vec{b} — 2 \vec{b}^2\).

Далее вычислим каждое слагаемое отдельно. Для \(\vec{d}^2\) найдем квадрат длины вектора \(\vec{d}\). По условию длина \(|\vec{d}|\) равна \(\sqrt{2}\), значит \(\vec{d}^2 = |\vec{d}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\). Следующий шаг — вычисление скалярного произведения \(\vec{d} \cdot \vec{b}\). Формула скалярного произведения векторов такова: \(\vec{d} \cdot \vec{b} = |\vec{d}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами. Из условия \(|\vec{b}| = 1\), а угол \(\theta = 135^\circ\), следовательно, \(\vec{d} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos 135^\circ\). Значение \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому \(\vec{d} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1\).

Теперь вычислим \(\vec{b}^2\), то есть квадрат длины вектора \(\vec{b}\). По условию \(|\vec{b}| = 1\), значит \(\vec{b}^2 = 1^2 = 1\). Подставим все найденные значения в исходное выражение: \(\vec{d}^2 — \vec{d} \cdot \vec{b} — 2 \vec{b}^2 = 2 — (-1) — 2 \cdot 1 = 2 + 1 — 2 = 1\). Таким образом, окончательный результат равен 1.