ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.127 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \( M(4;-2) \), \( N(1;1) \) и \( P(3;3) \). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{MN} \) и \( \vec{MP} \).

Найдём координаты векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{MP}\):

\(\vec{MN} = (1 — 4; 1 — (-2)) = (-3; 3)\),

\(\vec{MP} = (3 — 4; 3 — (-2)) = (-1; 5)\).

Найдём скалярное произведение:

\(\vec{MN} \cdot \vec{MP} = (-3) \cdot (-1) + 3 \cdot 5 = 3 + 15 = 18\).

Ответ: 18.

Для начала необходимо найти координаты векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{MP}\). Вектор \(\vec{MN}\) определяется как разность координат точки \(N\) и точки \(M\). Если координаты \(M\) равны (4; -2), а координаты \(N\) равны (1; 1), то вычисляем компоненты вектора по формуле \(x_N — x_M\) и \(y_N — y_M\). Таким образом, первая компонента вектора \(\vec{MN}\) равна \(1 — 4 = -3\), а вторая компонента равна \(1 — (-2) = 3\). В итоге получаем вектор \(\vec{MN} = (-3; 3)\).

Аналогично находим координаты вектора \(\vec{MP}\), используя координаты точки \(P\) (3; 3) и точки \(M\) (4; -2). Первая компонента вектора \(\vec{MP}\) равна \(3 — 4 = -1\), а вторая компонента равна \(3 — (-2) = 5\). Таким образом, вектор \(\vec{MP} = (-1; 5)\).

Следующий шаг — найти скалярное произведение векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{MP}\). Скалярное произведение двух векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) вычисляется по формуле \(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\). Подставляем значения: \((-3) \cdot (-1) + 3 \cdot 5 = 3 + 15 = 18\). Скалярное произведение равно 18, что и является ответом.