ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.128 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке 22.8 изображён ромб \( ABCD \), в котором \( AB = 2 \text{ см} \), \( \angle ABC = 120^\circ \). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

Найдём угол \( \angle BAC \).

\( \angle BAC = \frac{180^\circ — 120^\circ}{2} = 30^\circ \).

Найдём отрезок \( AC \) по теореме косинусов:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ = 2^2 + 2^2 — 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\)
\( = 12 \),

откуда \( AC = 2\sqrt{3} \).

Найдём скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \).

Ответ: 6.

Для начала определим угол \( \angle BAC \). Из условия известно, что угол \( \angle ABC \) равен 120°. Поскольку точка \( A \) лежит на биссектрисе угла \( \angle BOC \), угол \( \angle BAC \) равен половине разности между 180° и 120°. То есть вычисляем его по формуле: \( \angle BAC = \frac{180^\circ — 120^\circ}{2} = 30^\circ \). Это важный шаг, так как знание этого угла позволит использовать тригонометрию для дальнейших вычислений.

Далее необходимо найти длину отрезка \( AC \). Для этого применим теорему косинусов, которая связывает стороны треугольника и угол между ними. Формула теоремы косинусов звучит так: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ \). Подставим известные значения: \( AB = 2 \), \( BC = 2 \), угол между ними 120°, и косинус 120° равен \( -\frac{1}{2} \). Тогда получаем: \( AC^2 = 2^2 + 2^2 — 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + 4 + 4 = 12 \). Извлекая корень, находим \( AC = 2\sqrt{3} \). Это показывает, что отрезок \( AC \) длиннее сторон \( AB \) и \( BC \) из-за угла 120°, что логично.

Последним шагом найдём скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). Формула скалярного произведения через длины векторов и угол между ними: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \). Подставим известные значения: \( AB = 2 \), \( AC = 2\sqrt{3} \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Тогда: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \). Таким образом, скалярное произведение равно 6, что является ответом задачи.