ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.129 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона правильного шестиугольника \( ABCDEF \) равна 1. Вычислите скалярное произведение: 1) \( \vec{BA} \cdot \vec{CD} \); 2) \( \vec{AD} \cdot \vec{CD} \).

Пусть сторона правильного шестиугольника равна 1.

1) Для векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

Угол между векторами равен \(120^\circ\).

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\).

2) Для векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

Длина отрезка \(AD = 2\).

Угол между векторами равен \(120^\circ\).

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos 120^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\).

Ответ:

1) \(-\frac{1}{2}\)

2) \(-1\)

1) Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{CD}\) в правильном шестиугольнике со стороной 1. Поскольку шестиугольник правильный, все его стороны равны 1, а углы между соседними сторонами равны 120°. Вектор \(\overrightarrow{BA}\) направлен от точки B к точке A, а вектор \(\overrightarrow{CD}\) — от точки C к точке D. Чтобы найти скалярное произведение этих векторов, нужно знать длины векторов и угол между ними.

2) Длины векторов равны длинам сторон шестиугольника, то есть \( |\overrightarrow{BA}| = 1 \) и \( |\overrightarrow{CD}| = 1 \). Угол между векторами равен углу \(\angle BAF = 120^\circ\), так как это внутренний угол правильного шестиугольника, и направление векторов выбрано так, что угол между ними совпадает с этим значением. Скалярное произведение вычисляется по формуле \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos \theta \), где \(\theta\) — угол между векторами.

3) Подставляя значения, получаем \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ \). Значение косинуса угла 120° равно \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Следовательно, скалярное произведение равно \( -\frac{1}{2} \).

4) Теперь рассмотрим векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Вектор \(\overrightarrow{AD}\) соединяет точку A с точкой D, проходя через две стороны шестиугольника. Для нахождения длины отрезка AD нужно сделать дополнительные построения. Отрезок AD можно представить как сумму отрезков \(AK + KM + MD\), где \(AK = \frac{1}{2}\), \(KM = 1\), \(MD = \frac{1}{2}\), что даёт \(AD = 2\).

5) Угол между векторами \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равен \(120^\circ\), аналогично предыдущему случаю. Тогда скалярное произведение вычисляется по формуле \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{CD}| \cdot \cos 120^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \).

Ответ:

1) \(-\frac{1}{2}\)

2) \(-1\)