ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике \( MNK \) на гипотенузу \( MK \) опущена высота \( NF \). Площадь треугольника \( MNF \) равна 2 см², а площадь треугольника \( KNF \) — 32 см². Найдите гипотенузу треугольника \( MNK \).

Площади треугольников: \( S_{MNF} = 2 \), \( S_{KNF} = 32 \). Основания: \( MF = \frac{4}{NF} \), \( KF = \frac{64}{NF} \).

Гипотенуза: \( MK = MF + KF = \frac{4}{NF} + \frac{64}{NF} = \frac{68}{NF} \).

Площадь всего треугольника: \( S_{MNK} = 2 + 32 = 34 \). По формуле: \( S_{MNK} = \frac{1}{2} MK \cdot NF \).
Отсюда: \( MK = \frac{2 \cdot 34}{NF} = \frac{68}{NF} \).

Ответ: \( MK = 17 \) см.

В треугольнике \( MNK \) проведена высота \( NF \) к гипотенузе \( MK \), которая делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: \( MNF \) и \( KNF \). Площади этих треугольников известны: \( S_{MNF} = 2\,\text{см}^{2} \) и \( S_{KNF} = 32\,\text{см}^{2} \). По формуле площади треугольника через основание и высоту получаем: \( S_{MNF} = \frac{1}{2} MF \cdot NF = 2 \) и \( S_{KNF} = \frac{1}{2} KF \cdot NF = 32 \).

Из первой формулы выразим \( MF \): \( MF = \frac{2 \cdot 2}{NF} = \frac{4}{NF} \). Из второй формулы аналогично находим \( KF = \frac{2 \cdot 32}{NF} = \frac{64}{NF} \). Гипотенуза исходного треугольника равна сумме этих оснований: \( MK = MF + KF = \frac{4}{NF} + \frac{64}{NF} = \frac{68}{NF} \).

Так как высота \( NF \) одна и та же для обоих треугольников, можно также выразить площадь всего треугольника \( MNK \) через гипотенузу и высоту: \( S_{MNK} = S_{MNF} + S_{KNF} = 2 + 32 = 34\,\text{см}^{2} \). По формуле площади: \( S_{MNK} = \frac{1}{2} MK \cdot NF \), отсюда \( MK = \frac{2 \cdot 34}{NF} = \frac{68}{NF} \). Таким образом, гипотенуза треугольника \( MK \) равна \( 17 \) см.