ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.130 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол между векторами \( \vec{a} = (-1; -1) \) и \( \vec{b} = (2; 0) \).

Найдём угол между векторами.

Косинус угла вычисляется по формуле:
\(\cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-1 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2}} = \frac{-2}{2 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Таким образом,
\(\angle (\vec{a}, \vec{b}) = \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ\).

Ответ: 135°.

Для начала вспомним формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Она выражается через скалярное произведение и длины векторов:
\(\cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих компонент векторов.

В нашем случае векторы заданы компонентами: \(\vec{a} = (-1, 1)\) и \(\vec{b} = (2, 0)\). Сначала найдем скалярное произведение:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 = -2 + 0 = -2\).

Далее вычислим длины векторов. Длина вектора \(\vec{a}\) равна
\(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\),
а длина вектора \(\vec{b}\) равна
\(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 0} = 2\).

Подставляем значения в формулу косинуса:
\(\cos \angle (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{-2}{2 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Чтобы найти сам угол, воспользуемся обратной функцией косинуса:
\(\angle (\vec{a}, \vec{b}) = \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
Из таблиц или свойств тригонометрических функций известно, что \(\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ\).

Ответ: 135°.