ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.131 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \( CD \) параллелограмма \( ABCD \) отметили точку \( M \) так, что \( CM : MD = 2 : 3 \). Выразите вектор \( \vec{AM} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), где \( \vec{a} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{AD} \).

Пусть \( \vec{d} = \vec{AB} \), \( \vec{b} = \vec{AD} \).

Точка \( M \) лежит на отрезке \( CD \) так, что отношение \( CM : MD = 2 : 3 \). Значит, \( \vec{DM} = \frac{3}{5} \vec{DC} \).

Вектор \( \vec{AM} \) можно выразить как сумму векторов:

\( \vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{DC} \).

Так как \( \vec{DC} = -\vec{AB} = -\vec{d} \), получаем:

\( \vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{5} (-\vec{d}) = \vec{b} — \frac{3}{5} \vec{d} \).

Однако на рисунке и в условии вектор \( \vec{d} \) направлен от \( B \) к \( A \), то есть \( \vec{d} = \vec{AB} \), тогда \( \vec{DC} = \vec{AB} = \vec{d} \).

Исправляя:

\( \vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d} \).

Ответ:

\( \vec{AM} = \frac{3}{5} \vec{d} + \vec{b} \).

Рассмотрим параллелограмм \( ABCD \). В нем векторы \( \vec{d} = \vec{AB} \) и \( \vec{b} = \vec{AD} \) задают стороны параллелограмма, исходящие из точки \( A \). Точка \( M \) лежит на отрезке \( CD \) так, что отношение отрезков \( CM : MD = 2 : 3 \). Это значит, что \( M \) делит отрезок \( CD \) в отношении 2 к 3, считая от точки \( C \).

Чтобы выразить вектор \( \vec{AM} \), нужно представить его через известные векторы. Вектор \( \vec{AM} \) можно разложить как сумму векторов \( \vec{AD} \) и \( \vec{DM} \), то есть \( \vec{AM} = \vec{AD} + \vec{DM} \). Вектор \( \vec{AD} \) равен \( \vec{b} \) по определению. Далее, чтобы найти \( \vec{DM} \), воспользуемся тем, что \( M \) делит отрезок \( CD \) в отношении 2 к 3. Значит, длина отрезка \( DM \) составляет \( \frac{3}{5} \) от длины \( DC \), так как суммарная длина \( CD = CM + MD = 2 + 3 = 5 \) частей. Тогда \( \vec{DM} = \frac{3}{5} \vec{DC} \).

Вектор \( \vec{DC} \) направлен от \( D \) к \( C \). Поскольку \( ABCD \) — параллелограмм, векторы \( \vec{DC} \) и \( \vec{AB} \) равны по величине и направлены одинаково, то есть \( \vec{DC} = \vec{AB} = \vec{d} \). Подставляя это в выражение для \( \vec{AM} \), получаем \( \vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d} \). Таким образом, вектор \( \vec{AM} \) выражается через векторы сторон параллелограмма.

Итоговый ответ: \( \vec{AM} = \frac{3}{5} \vec{d} + \vec{b} \).