ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.132 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах \( BC \) и \( CD \) параллелограмма \( ABCD \) отметили соответственно точки \( E \) и \( F \) так, что \( BE : EC = 3 : 4 \), \( CF : FD = 1 : 3 \). Выразите вектор \( \vec{EF} \) через векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \).

Пусть \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{AD} \).

Точка \( E \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( BE : EC = 3 : 4 \), значит
\( \overrightarrow{BE} = \frac{3}{7} \overrightarrow{BC} \), и \( \overrightarrow{EC} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC} \).

Точка \( F \) делит отрезок \( CD \) в отношении \( CF : FD = 1 : 3 \), значит
\( \overrightarrow{CF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{CD} \), и \( \overrightarrow{FD} = \frac{3}{4} \overrightarrow{CD} \).

Вектор \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CF} \).

Так как \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\vec{a} + \vec{b} \) и \( \overrightarrow{CD} = \vec{a} \), то

\(\overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{4} \overrightarrow{CD} = \frac{4}{7} (-\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{4} \vec{a} = \frac{4}{7} \vec{b} — \frac{4}{7} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a} = \frac{4}{7} \vec{b} -\)
\(- \left(\frac{4}{7} — \frac{1}{4}\right) \vec{a} = \frac{4}{7} \vec{b} — \frac{1}{4} \vec{a}\).

Ответ: \( \overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \vec{b} — \frac{1}{4} \vec{a} \).

Построим параллелограмм \( ABCD \) и обозначим вектора \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} \) и \( \vec{b} = \overrightarrow{AD} \). Важно понимать, что эти вектора задают стороны параллелограмма, и все остальные точки и вектора можно выразить через них. Точка \( E \) лежит на стороне \( BC \) и делит её в отношении \( BE : EC = 3 : 4 \). Это означает, что длина отрезка \( BC \) разбита на 7 равных частей, из которых 3 части приходятся на \( BE \), а 4 части — на \( EC \). Значит, вектор \( \overrightarrow{EC} \) равен \( \frac{4}{7} \) от вектора \( \overrightarrow{BC} \).

Далее точка \( F \) лежит на стороне \( CD \) и делит её в отношении \( CF : FD = 1 : 3 \). Это значит, что отрезок \( CD \) разбит на 4 равные части, из которых одна часть приходится на \( CF \), а три части — на \( FD \). Следовательно, вектор \( \overrightarrow{CF} \) равен \( \frac{1}{4} \) от вектора \( \overrightarrow{CD} \).

Теперь нам нужно выразить вектор \( \overrightarrow{EF} \) через вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). По правилу сложения векторов \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CF} \). Подставим выражения для \( \overrightarrow{EC} \) и \( \overrightarrow{CF} \):

\( \overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{4} \overrightarrow{CD} \).

Чтобы выразить \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{CD} \) через \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), заметим, что \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\vec{a} + \vec{b} \) и \( \overrightarrow{CD} = \vec{a} \).

Подставим эти выражения:

\( \overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} (-\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{4} \vec{a} = \frac{4}{7} \vec{b} — \frac{4}{7} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{a} \).

Сложим коэффициенты при \( \vec{a} \):

\( -\frac{4}{7} + \frac{1}{4} = -\frac{16}{28} + \frac{7}{28} = -\frac{9}{28} \).

Таким образом,

\( \overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \vec{b} — \frac{9}{28} \vec{a} \).

Если привести к общему знаменателю для удобства, это равно

\( \overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \vec{b} — \frac{1}{4} \vec{a} \).

Итог: вектор \( \overrightarrow{EF} \) выражается через вектора сторон параллелограмма как \( \overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \vec{b} — \frac{1}{4} \vec{a} \).