ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.133 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах \( AB \) и \( BC \) параллелограмма \( ABCD \) отметили соответственно точки \( M \) и \( K \) так, что \( AM : MB = 1 : 2 \), \( BK : KC = 2 : 3 \). Выразите вектор \( \vec{KM} \) через векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \).

Пусть \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\).

Точка \(M\) на отрезке \(AB\) такова, что \(AM : MB = 1 : 2\), значит \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{3} \vec{a}\).

Точка \(K\) на отрезке \(BC\) такова, что \(BK : KC = 2 : 3\), значит \(\overrightarrow{BK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{5} \vec{b}\) (так как \(BC = AD\)).

Вектор \(\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{BK} + \overrightarrow{BM} = -\frac{2}{5} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a}\).

Ответ: \(\overrightarrow{KM} = -\frac{2}{5} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a}\).

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с векторами \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\) и \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\). Точка \(M\) лежит на отрезке \(AB\) так, что отношение отрезков \(AM : MB = 1 : 2\). Это означает, что \(M\) делит отрезок \(AB\) в отношении 1 к 2, считая от точки \(A\). Следовательно, длина отрезка \(AB\) разбивается на три равные части, и точка \(M\) находится на расстоянии одной такой части от \(A\). Вектор \(\overrightarrow{BM}\) можно выразить через \(\vec{a}\) как \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{3} \vec{a}\), потому что \(BM\) — это одна треть от \(AB\), но в обратном направлении от \(B\) к \(M\).

Далее, точка \(K\) лежит на отрезке \(BC\) так, что отношение отрезков \(BK : KC = 2 : 3\). Поскольку \(BC\) параллелен и равен по длине вектору \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\), мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{BK}\) через \(\vec{b}\). Отрезок \(BC\) разбит точкой \(K\) в отношении 2 к 3, значит, длина \(BC\) делится на 5 равных частей, и \(BK\) составляет две из них. Тогда \(\overrightarrow{BK} = \frac{2}{5} \vec{b}\).

Теперь найдём вектор \(\overrightarrow{KM}\). Вектор \(\overrightarrow{KM}\) можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{KB}\) и \(\overrightarrow{BM}\). Поскольку \(\overrightarrow{KB} = — \overrightarrow{BK}\), имеем \(\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BM} = -\frac{2}{5} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a}\). Это выражение показывает, что вектор \(\overrightarrow{KM}\) направлен в сторону, противоположную вектору \(\vec{b}\) с коэффициентом \(\frac{2}{5}\) и в сторону вектора \(\vec{a}\) с коэффициентом \(\frac{1}{3}\).

Таким образом, окончательный ответ: \(\overrightarrow{KM} = -\frac{2}{5} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a}\).