ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.134 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \( BC \) и диагонали \( AC \) параллелограмма \( ABCD \) отметили точки \( K \) и \( F \) соответственно так, что \( BK : BC = 5 : 6 \), \( AF : AC = 6 : 7 \). Докажите, что точки \( D \), \( F \) и \( K \) лежат на одной прямой.

Пусть \( A = (0; 0) \), \( D = (7; 0) \), \( B = (a; b) \), тогда \( C = (7 + a; b) \).

Координаты точки \( K \) на отрезке \( BC \) с отношением \( BK : BC = 5 : 6 \):

\( x_K = \frac{a + \frac{5}{1} (7 + a)}{1 + \frac{5}{1}} = \frac{6a + 35}{6} \), \( y_K = b \).

Координаты точки \( F \) на отрезке \( AC \) с отношением \( AF : AC = 6 : 7 \):

\( x_F = \frac{0 + \frac{6}{1} (7 + a)}{1 + \frac{6}{1}} = \frac{6a + 42}{7} \), \( y_F = \frac{6b}{7} \).

Подставляем точку \( F \) в уравнение прямой \( DK \):

\[
y = \frac{6b \left(\frac{6a + 42}{7} — 7\right)}{6a — 7} = \frac{6b}{7}.
\]

Так как \( y_F = \frac{6b}{7} \), точка \( F \) лежит на прямой \( DK \).

Ответ: точки \( D \), \( F \), \( K \) лежат на одной прямой.

Рассмотрим параллелограмм \( ABCD \) с координатами точек: \( A = (0; 0) \), \( D = (7; 0) \), \( B = (a; b) \) и \( C = (7 + a; b) \). Такая постановка координат обусловлена тем, что \( AD \) лежит на оси \( x \), а \( AB \) направлен под углом, задаваемым координатами \( (a; b) \). Это упрощает вычисления и позволяет выразить все точки через переменные \( a \) и \( b \).

Точку \( K \) на отрезке \( BC \) выбираем так, чтобы отношение \( BK : BC = 5 : 6 \). Для нахождения координат точки \( K \) используем формулу деления отрезка в заданном отношении. По оси \( x \):

\( x_K = \frac{a + \frac{5}{1} (7 + a)}{1 + \frac{5}{1}} = \frac{a + 5(7 + a)}{1 + 5} = \frac{a + 35 + 5a}{6} = \frac{6a + 35}{6} \).

По оси \( y \) точка \( K \) лежит на той же высоте, что и \( B \) и \( C \), то есть \( y_K = b \). Таким образом, \( K = \left(\frac{6a + 35}{6}; b\right) \).

Точку \( F \) на отрезке \( AC \) выбираем так, чтобы отношение \( AF : AC = 6 : 7 \). Аналогично вычисляем координаты \( F \) через формулу деления отрезка. По оси \( x \):

\( x_F = \frac{0 + \frac{6}{1} (7 + a)}{1 + \frac{6}{1}} = \frac{6(7 + a)}{7} = \frac{6a + 42}{7} \).

По оси \( y \):

\( y_F = \frac{0 + \frac{6}{1} b}{1 + \frac{6}{1}} = \frac{6b}{7} \).

Таким образом, \( F = \left(\frac{6a + 42}{7}; \frac{6b}{7}\right) \).

Далее найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( D = (7; 0) \) и \( K = \left(\frac{6a + 35}{6}; b\right) \). Используем уравнение прямой в виде:

\(\frac{x — x_D}{x_K — x_D} = \frac{y — y_D}{y_K — y_D}\),

то есть

\(\frac{x — 7}{\frac{6a + 35}{6} — 7} = \frac{y — 0}{b — 0}\).

Вычислим знаменатели:

\(\frac{6a + 35}{6} — 7 = \frac{6a + 35 — 42}{6} = \frac{6a — 7}{6}\).

Подставим обратно:

\(\frac{x — 7}{\frac{6a — 7}{6}} = \frac{y}{b}\),

откуда

\(y = \frac{6b}{6a — 7} (x — 7)\).

Теперь проверим, лежит ли точка \( F \) на этой прямой. Подставим координаты \( F \):

\(y_F \stackrel{?}{=} \frac{6b}{6a — 7} \left(\frac{6a + 42}{7} — 7\right)\).

Вычислим выражение в скобках:

\(\frac{6a + 42}{7} — 7 = \frac{6a + 42 — 49}{7} = \frac{6a — 7}{7}\).

Подставим:

\(y = \frac{6b}{6a — 7} \cdot \frac{6a — 7}{7} = \frac{6b}{7}\).

Это совпадает с \( y_F = \frac{6b}{7} \), значит точка \( F \) действительно лежит на прямой \( DK \).

Следовательно, точки \( D \), \( F \), \( K \) лежат на одной прямой.