ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.135 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой является: 1) сама эта прямая; 2) параллельная ей прямая?

Если параллельный перенос прямой \(a\) осуществляется с помощью вектора \(\vec{b}\), параллельного прямой \(a\), то образом прямой будет сама эта прямая.

Образ точки \(A\) при таком переносе будет точка \(A_1 \in a\).

Можно подобрать бесконечное множество векторов, параллельных прямой \(a\), значит существует бесконечное количество параллельных переносов, при которых образом прямой является сама эта прямая.

Ответ: бесконечно много.

Параллельный перенос прямой \(a\) с помощью вектора \(\vec{b}\) означает, что каждая точка прямой \(a\) смещается на вектор \(\vec{b}\). Если вектор \(\vec{b}\) параллелен прямой \(a\), то при переносе все точки прямой будут сдвинуты вдоль направления этой же прямой. В результате образ прямой после переноса совпадает с самой прямой \(a\), только сдвинутой вдоль неё. Это значит, что прямая не меняет своего направления и не «уходит» в другое место, а остаётся параллельной самой себе.

Для примера возьмём точку \(A\) на прямой \(a\). При параллельном переносе с помощью вектора \(\vec{b}\), который параллелен прямой \(a\), точка \(A\) перейдёт в точку \(A_1\), которая также лежит на прямой \(a\). То есть \(A_1 \in a\). Это подтверждает, что весь образ прямой при таком переносе — это сама прямая \(a\), а не какая-то другая прямая или множество точек вне \(a\).

Поскольку существует бесконечно много векторов, параллельных прямой \(a\) (все они лежат на линии направления \(a\) и могут иметь любую длину и направление вдоль \(a\)), то существует бесконечное количество параллельных переносов, при которых образ прямой будет совпадать с самой прямой \(a\). Следовательно, количество таких параллельных переносов неограниченно, их бесконечно много.