ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.136 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Запишите уравнение окружности, являющейся образом окружности \(x^2 + y^2 = 4\) при параллельном переносе на вектор \(\vec{a} = (2; -3)\).

Пусть исходная окружность задана уравнением \(x^2 + y^2 = 4\) с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом 2.

Выполним параллельный перенос окружности на вектор \(\vec{d} = (2; -3)\). Новый центр окружности будет в точке \((2; -3)\).

Уравнение окружности после переноса:

\((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 4\).

Рассмотрим исходную окружность, заданную уравнением \(x^2 + y^2 = 4\). Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат, то есть в точке \((0; 0)\), и радиусом, равным 2. Радиус можно найти, взяв корень квадратный из числа 4, так как уравнение окружности имеет общий вид \((x — a)^2 + (y — b)^2 = R^2\), где \((a; b)\) — координаты центра, а \(R\) — радиус. В нашем случае \(a = 0\), \(b = 0\), и \(R^2 = 4\), значит \(R = 2\).

Теперь выполним параллельный перенос этой окружности на вектор \(\vec{d} = (2; -3)\). Это значит, что каждая точка окружности сдвинется на 2 единицы вправо по оси \(x\) и на 3 единицы вниз по оси \(y\). В результате центр окружности, который изначально находился в точке \((0; 0)\), переместится в точку \((2; -3)\). При таком переносе радиус окружности останется неизменным, так как параллельный перенос не изменяет расстояния между точками.

Уравнение окружности после переноса будет иметь вид \((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 4\). Здесь \((x — 2)^2\) отражает сдвиг центра окружности вправо на 2, а \((y + 3)^2\) — сдвиг вниз на 3 (поскольку перенос по оси \(y\) в отрицательную сторону, знак меняется на плюс). Правая часть уравнения остается равной 4, так как радиус не изменился. Таким образом, новое уравнение полностью описывает окружность с центром в точке \((2; -3)\) и радиусом 2.