ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.146 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(O\) – центр правильного восьмиугольника, изображённого на рисунке 22.12. Укажите образ стороны \(A_4A_5\) при повороте вокруг точки \(O\) против часовой стрелки на угол \(135^\circ\).

Правильный восьмиугольник делит окружность на 8 равных частей, значит угол при центре между соседними вершинами равен \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \).

Поворот отрезка \( A_3A_4 \) вокруг центра \( O \) на угол \( 135^\circ \) против часовой стрелки соответствует повороту на три сектора по \( 45^\circ \).

Тогда точка \( A_3 \) перейдёт в точку \( A_8 \), а точка \( A_4 \) — в точку \( A_1 \).

Следовательно, при таком повороте отрезок \( A_3A_4 \) перейдёт в отрезок \( A_8A_1 \).

Ответ: \( A_8A_1 \).

Правильный восьмиугольник имеет все стороны и углы равными, и его вершины лежат на окружности. Эта окружность делится на 8 равных дуг, каждая из которых соответствует центральному углу между соседними вершинами. Поскольку полный круг равен \(360^\circ\), каждый центральный угол равен \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \). Это означает, что угол \( \angle A_3OA_4 \), где \(O\) — центр окружности, равен \(45^\circ\).

Когда мы мысленно поворачиваем отрезок \( A_3A_4 \) вокруг центра \(O\) на угол \(135^\circ\) против часовой стрелки, мы фактически перемещаем его на три таких сектора по \(45^\circ\) каждый, так как \(135^\circ = 3 \times 45^\circ\). При этом вершина \(A_3\), которая находится в положении после двух секторов от \(A_1\), смещается на три сектора дальше по окружности и попадает в положение вершины \(A_8\). Аналогично, вершина \(A_4\), которая расположена на один сектор дальше \(A_3\), при таком же повороте смещается на три сектора и попадает в положение вершины \(A_1\).

Таким образом, при повороте отрезка \( A_3A_4 \) вокруг точки \(O\) на угол \(135^\circ\) против часовой стрелки, его образ становится отрезком \( A_8A_1 \). Это объясняется равенством углов и равномерным распределением вершин правильного восьмиугольника по окружности, что позволяет точно определить соответствие вершин при повороте на кратное число центральных углов. Ответ: \( A_8A_1 \).