ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.147 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(O\) – центр правильного двенадцатиугольника, изображённого на рисунке 22.13. Укажите образ стороны \(A_2A_3\) при повороте вокруг точки \(O\) по часовой стрелке на угол \(150^\circ\).

Правильный двенадцатиугольник делит окружность на 12 равных частей, значит каждый центральный угол равен \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \).

Поворачиваем отрезок \( A_2A_3 \) вокруг центра \( O \) на \( 150^\circ \) по часовой стрелке.

Так как \( 150^\circ = 5 \times 30^\circ \), точка \( A_2 \) перейдёт в точку \( A_7 \), а точка \( A_3 \) — в точку \( A_8 \).

Следовательно, образ стороны \( A_2A_3 \) при повороте будет сторона \( A_7A_8 \).

Правильный двенадцатиугольник равномерно делит окружность на 12 равных частей, так как у него 12 вершин и все стороны равны. Поскольку полная окружность равна \(360^\circ\), каждый центральный угол, образуемый радиусами, проведёнными к соседним вершинам, равен \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \). Это означает, что угол между точками \(A_i\) и \(A_{i+1}\) при центре \(O\) составляет ровно 30 градусов для всех \(i\).

Рассмотрим отрезок \(A_2A_3\), который соединяет две соседние вершины многоугольника. Если мысленно повернуть этот отрезок вокруг центра \(O\) на угол \(150^\circ\) по часовой стрелке, то каждая из точек \(A_2\) и \(A_3\) сместится на определённое количество шагов по окружности. Поскольку один шаг равен 30 градусам, поворот на 150 градусов соответствует смещению на 5 таких шагов (потому что \(150^\circ = 5 \times 30^\circ\)).

Таким образом, точка \(A_2\) при повороте перейдёт в точку \(A_7\) (сдвиг на 5 вершин по часовой стрелке), а точка \(A_3\) — в точку \(A_8\). Следовательно, после поворота отрезок \(A_2A_3\) совпадёт с отрезком \(A_7A_8\). Это показывает, что при повороте правильного двенадцатиугольника на угол, кратный 30 градусам, вершины и стороны переходят в соответствующие вершины и стороны с одинаковым сдвигом по индексу.