ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Продолжения боковых сторон \( AB \) и \( CD \) трапеции \( ABCD \) пересекаются в точке \( F \), \( AB : BF = 3 : 7 \), \( AD \) — большее основание трапеции. Разность оснований трапеции равна 6 см. Найдите основание \( AD \).

Пусть \( AD = x \), \( BC = x — 6 \).

По условию \( \frac{AB}{BF} = \frac{3}{7} \).

Треугольники \( AFD \) и \( BFC \) подобны, тогда \( \frac{BF}{AF} = \frac{BC}{AD} \).

Значит, \( \frac{7}{3} = \frac{x-6}{x} \).

Составим пропорцию: \( \frac{7}{10} = \frac{x-6}{x} \).

\( 7x = 10x — 60 \)

\( 3x = 60 \)

\( x = 20 \)

Ответ: \( AD = 20 \) см.

Пусть основание трапеции \( AD = x \), а меньшее основание \( BC = x — 6 \), так как по условию их разность равна 6 см. По условию задачи известно, что продолжения боковых сторон \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( F \), причем отношение \( AB : BF = 3 : 7 \). Это значит, что если \( AB \) — часть отрезка от точки \( A \) до точки \( F \), а \( BF \) — оставшаяся часть до точки \( F \), то весь отрезок \( AF = AB + BF \). Следовательно, \( AB = \frac{3}{10} AF \), а \( BF = \frac{7}{10} AF \).

Далее, по свойству подобных треугольников \( \triangle AFD \) и \( \triangle BFC \), которые получаются при пересечении продолжений боковых сторон, можно записать пропорцию: \( \frac{BF}{AF} = \frac{BC}{AD} \). Подставим известные значения: \( \frac{7}{10} = \frac{x-6}{x} \). Это уравнение связывает длины оснований трапеции с отношением отрезков, на которые точка \( F \) делит продолжение боковой стороны.

Решим полученное уравнение для нахождения основания \( AD \):
\(
\frac{7}{10} = \frac{x-6}{x}
\)
Домножим обе части на \( x \) и на 10, чтобы избавиться от дробей:
\(
7x = 10(x — 6)
\)
Раскроем скобки:
\(
7x = 10x — 60
\)
Перенесем все слагаемые с \( x \) в одну сторону:
\(
7x — 10x = -60
\)
\(
-3x = -60
\)
Разделим обе части на \(-3\):
\(
x = 20
\)

Таким образом, основание \( AD \) трапеции равно 20 см.