ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.150 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медианы треугольника \(ABC\), изображённого на рисунке 22.16, пересекаются в точке \(M\). Найдите коэффициент: 1) гомотетии с центром \(M\), при которой точка \(C_1\) является образом точки \(C\); 2) гомотетии с центром \(B\), при которой точка \(M\) является образом точки \(B_1\).

Медианы треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\).

1) Коэффициент гомотетии с центром \(M\), при которой точка \(C_1\) является образом точки \(C\):

Поскольку \(CC_1\) — медиана, то \(MC_1 = \frac{1}{3} CC_1\), а \(MC = \frac{2}{3} CC_1\).

Коэффициент гомотетии \(k = -\frac{MC_1}{MC} = -\frac{\frac{1}{3} CC_1}{\frac{2}{3} CC_1} = -\frac{1}{2}\).

2) Коэффициент гомотетии с центром \(B\), при которой точка \(M\) является образом точки \(B_1\):

\(BM = k \cdot BB_1\), где \(BB_1\) — медиана.

Так как \(BM = \frac{2}{3} BB_1\), то \(k = \frac{BM}{BB_1} = \frac{2}{3}\).

Ответ:

\(k = -\frac{1}{2}\) для первой гомотетии.

\(k = \frac{2}{3}\) для второй гомотетии.

1) Рассмотрим гомотетию с центром в точке \(M\), при которой точка \(C_1\) является образом точки \(C\). По определению гомотетии, если точки \(O\), \(X\), \(X_1\) таковы, что вектор \(OX_1 = k \cdot OX\), где \(k \neq 0\), то точка \(X_1\) — образ точки \(X\) при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\). В нашем случае \(O = M\), \(X = C\), \(X_1 = C_1\). Чтобы найти коэффициент \(k\), нужно выразить отношение длин отрезков, исходя из положения точек на прямой.

Поскольку \(CC_1\) — медиана треугольника \(ABC\), точка \(M\) — точка пересечения медиан, то по свойству медиан точка пересечения делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Отсюда длина отрезка \(MC = \frac{2}{3} CC_1\), а длина отрезка \(MC_1 = \frac{1}{3} CC_1\). При этом \(C\) и \(C_1\) находятся по разные стороны от \(M\), значит коэффициент гомотетии \(k\) будет отрицательным.

Используя формулу для коэффициента гомотетии \(k = — \frac{MC_1}{MC}\), подставляем значения: \(k = — \frac{\frac{1}{3} CC_1}{\frac{2}{3} CC_1} = — \frac{1}{2}\). Таким образом, коэффициент гомотетии равен \(-\frac{1}{2}\).

2) Рассмотрим гомотетию с центром в точке \(B\), при которой точка \(M\) является образом точки \(B_1\). По определению гомотетии, если вектор \(BM = k \cdot BB_1\), то коэффициент гомотетии \(k\) равен отношению длины отрезков \(BM\) и \(BB_1\).

Поскольку \(BB_1\) — медиана треугольника \(ABC\), и \(M\) — точка пересечения медиан, то \(M\) делит медиану \(BB_1\) в отношении \(2:1\) от вершины \(B\). Следовательно, длина отрезка \(BM = \frac{2}{3} BB_1\).

Подставляя в формулу для коэффициента гомотетии, получаем \(k = \frac{BM}{BB_1} = \frac{2}{3}\).

Таким образом, коэффициент гомотетии с центром в точке \(B\), при которой \(M\) является образом \(B_1\), равен \(\frac{2}{3}\).

Ответы:

1) \(k = — \frac{1}{2}\).

2) \(k = \frac{2}{3}\).