ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.151 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(A_1(-1; 4)\) является образом точки \(A(2; -8)\) при гомотетии с центром в начале координат. Чему равен коэффициент гомотетии?

Вспомним, что при гомотетии с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) выполняется равенство \(\overrightarrow{OX_1} = k \cdot \overrightarrow{OX}\).

Найдём координаты векторов: \(\overrightarrow{OA_1} = (-1 — 0; 4 — 0) = (-1; 4)\) и \(\overrightarrow{OA} = (2 — 0; -8 — 0) = (2; -8)\).

Координаты вектора \(k \cdot \overrightarrow{OA}\) равны \((2k; -8k)\).

Приравниваем координаты:

Для \(x\): \(2k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}\).

Для \(y\): \(-8k = 4 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}\).

Ответ: \(k = -\frac{1}{2}\).

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка \(X\) плоскости переводится в точку \(X_1\) так, что вектор \(\overrightarrow{OX_1}\) равен вектору \(\overrightarrow{OX}\), умноженному на некоторый коэффициент \(k\). Здесь \(O\) — центр гомотетии, а \(k\) — коэффициент растяжения или сжатия. Если \(k > 0\), точка \(X_1\) лежит на луче, исходящем из \(O\) через \(X\), если \(k < 0\), то точка \(X_1\) лежит на продолжении луча в обратную сторону. Важно, что \(k \neq 0\), иначе все точки совпали бы с центром.

Для решения задачи нам даны две точки: \(A\) и \(A_1\), и центр гомотетии \(O\). Сначала найдём координаты векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OA_1}\). Вектор \(\overrightarrow{OA}\) определяется как разность координат точки \(A\) и центра \(O\). Если \(O = (0; 0)\), а \(A = (2; -8)\), то \(\overrightarrow{OA} = (2 — 0; -8 — 0) = (2; -8)\). Аналогично для точки \(A_1 = (-1; 4)\) получаем \(\overrightarrow{OA_1} = (-1 — 0; 4 — 0) = (-1; 4)\).

Далее, по определению гомотетии, \(\overrightarrow{OA_1} = k \cdot \overrightarrow{OA}\). Это означает, что координаты вектора \(\overrightarrow{OA_1}\) равны координатам вектора \(\overrightarrow{OA}\), умноженным на коэффициент \(k\). Если \(\overrightarrow{OA} = (a_1; a_2)\), то \(k \cdot \overrightarrow{OA} = (k a_1; k a_2)\). Подставим наши значения: \((-1; 4) = (2k; -8k)\). Из этого уравнения получаем систему: \(2k = -1\) и \(-8k = 4\). Решая каждое уравнение, находим \(k = -\frac{1}{2}\) в обоих случаях, что подтверждает правильность решения.

Таким образом, коэффициент гомотетии равен \(k = -\frac{1}{2}\). Отрицательное значение \(k\) говорит о том, что точка \(A_1\) лежит на продолжении луча \(OA\) в обратную сторону и находится вдвое ближе к центру \(O\), чем точка \(A\). Это соответствует сжатию с отражением относительно центра гомотетии.