ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.152 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A\) и \(B\) лежат в различных полуплоскостях относительно прямой \(a\). На прямой \(a\) найдите такую точку \(X\), чтобы прямая \(a\) содержала биссектрису угла \(AXB\).

Построим точку \( A_1 \) — образ точки \( A \) при симметрии относительно прямой \( a \).

Проведём прямую \( A_1 B \) так, чтобы \( A_1 B \cap a = X \).

Докажем, что точка \( X \) — искомая.
Треугольник \( \triangle A A_1 X \) равнобедренный, так как прямая \( a \) — серединный перпендикуляр отрезка \( A A_1 \).

Значит, \( A X = A_1 X \), а \( X C \) — высота, медиана и биссектриса, что и требовалось доказать.

Если точки \( A_1 \) и \( B \) совпадают, то в качестве искомой точки \( X \) можно выбрать любую точку прямой \( a \).

Если \( A_1 B \parallel a \), то задача не имеет решений.

Ответ:
Если \( A_1 B \cap a = X \), то точка \( X \) — искомая.

Для начала построим точку \( A_1 \), которая является симметричным образом точки \( A \) относительно прямой \( a \). Это означает, что прямая \( a \) является серединным перпендикуляром отрезка \( A A_1 \), то есть точка \( C \) — середина отрезка \( A A_1 \), а угол при \( C \) прямой к \( a \) равен 90 градусам. Таким образом, расстояния \( A C \) и \( A_1 C \) равны, а прямая \( a \) разделяет отрезок \( A A_1 \) на две равные части под прямым углом.

Далее проведём прямую \( A_1 B \) так, чтобы она пересекала прямую \( a \) в точке \( X \). Точка \( X \) является точкой пересечения прямой \( a \) и прямой \( A_1 B \). Важно, что именно эта точка \( X \) будет искомой точкой, обладающей необходимыми свойствами. Рассмотрим треугольник \( \triangle A A_1 X \). Поскольку \( a \) — серединный перпендикуляр к отрезку \( A A_1 \), треугольник \( \triangle A A_1 X \) равнобедренный с основанием \( A A_1 \). Следовательно, отрезки \( A X \) и \( A_1 X \) равны.

Из равенства \( A X = A_1 X \) и свойства серединного перпендикуляра следует, что отрезок \( X C \) является одновременно высотой, медианой и биссектрисой треугольника \( \triangle A A_1 X \). Это и доказывает, что точка \( X \) обладает всеми нужными геометрическими свойствами, которые требовалось показать. Если же точки \( A_1 \) и \( B \) совпадают, то прямая \( A_1 B \) вырождается в точку, и в этом случае любую точку на прямой \( a \) можно рассматривать как искомую точку \( X \). Если же прямая \( A_1 B \) параллельна прямой \( a \), то задача не имеет решений, так как они не пересекаются.

Ответ: если \( A_1 B \cap a = X \), то точка \( X \) является искомой точкой, обладающей необходимыми свойствами.