ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.154 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A\) и \(B\) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(a\). Найдите на прямой \(a\) такую точку \(X\), чтобы сумма \(AX + XB\) была наименьшей.

Пусть \( A_1 \) — образ точки \( A \) при симметрии относительно прямой \( a \).

Проведём прямую \( A_1B \) так, чтобы \( A_1B \cap a = X \).

Длина отрезка \( A_1B \) — кратчайшее расстояние между точками \( A_1 \) и \( B \).

Треугольник \( \triangle A A_1 X \) равнобедренный, так как прямая \( a \) — серединный перпендикуляр отрезка \( A A_1 \). Значит, \( AX = A_1X \).

\( A_1B = A_1X + BX = AX + BX \), значит сумма \( AX + BX \) наименьшая, что и требовалось доказать.

Если \( A_1B \cap a = X \), то точка \( X \) — искомая.

Рассмотрим точку \( A \) и прямую \( a \). Построим точку \( A_1 \) как образ точки \( A \) при симметрии относительно прямой \( a \). Это значит, что прямая \( a \) является серединным перпендикуляром отрезка \( A A_1 \), то есть она делит этот отрезок пополам и при этом перпендикулярна ему. Следовательно, точка \( C \), в которой прямая \( a \) пересекает отрезок \( A A_1 \), является серединой этого отрезка, и выполняется равенство \( AC = CA_1 \), а углы при точке пересечения прямых \( A C \) и \( a \) прямые.

Далее проведём прямую \( A_1 B \), где \( B \) — произвольная точка, так чтобы прямая \( A_1 B \) пересекала прямую \( a \) в точке \( X \), то есть \( X = A_1 B \cap a \). Нам нужно доказать, что точка \( X \) является искомой точкой, при которой сумма расстояний от \( A \) до \( X \) и от \( B \) до \( X \) минимальна. Рассмотрим треугольник \( \triangle A A_1 X \). Так как прямая \( a \) является серединным перпендикуляром отрезка \( A A_1 \), этот треугольник равнобедренный с основанием \( A A_1 \), и значит, стороны \( A X \) и \( A_1 X \) равны, то есть \( A X = A_1 X \).

Теперь рассмотрим длину отрезка \( A_1 B \). По построению, это кратчайшее расстояние между точками \( A_1 \) и \( B \). Отрезок \( A_1 B \) можно представить как сумму отрезков \( A_1 X \) и \( X B \), то есть \( A_1 B = A_1 X + X B \). Подставляя равенство \( A X = A_1 X \), получаем \( A_1 B = A X + X B \). Поскольку \( A_1 B \) — минимальное расстояние между точками \( A_1 \) и \( B \), сумма \( A X + X B \) также минимальна. Это и доказывает, что точка \( X \) — искомая точка, при которой сумма расстояний от \( A \) и \( B \) до прямой \( a \) минимальна.