ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.155 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершина \(A\) квадрата \(ABCD\) является центром поворота на угол \(90^\circ\). Найдите отрезок \(BC_1\), где точка \(C_1\) – образ точки \(C\) при указанном повороте, если \(AB = 1\) см.

Рассмотрим поворот по часовой стрелке. Тогда квадрат \(ADC_1D_1\) — образ квадрата \(ABCD\). Длина \(BC_1 = \sqrt{BC^2 + C_1C^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\) см.

Рассмотрим поворот против часовой стрелки. Тогда квадрат \(AB_1C_1B\) — образ квадрата \(ABCD\). Длина \(BC_1 = 1\) см.

Ответ: \(\sqrt{5}\) см или 1 см.

Рассмотрим сначала случай, когда поворот квадрата \(ABCD\) был выполнен по часовой стрелке. В этом случае квадрат \(ADC_1D_1\) является образом исходного квадрата \(ABCD\). Чтобы найти длину отрезка \(BC_1\), нужно учесть, что точка \(C_1\) расположена так, что отрезок \(BC_1\) образует гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \(BC\) и \(C_1C\). Длина стороны квадрата равна 1 см, значит \(BC = 1\) см, а \(C_1C = 2\) см. Тогда по теореме Пифагора длина \(BC_1\) вычисляется как \(BC_1 = \sqrt{BC^2 + C_1C^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\) см.

Теперь рассмотрим случай, когда поворот был выполнен против часовой стрелки. В этом случае квадрат \(AB_1C_1B\) является образом исходного квадрата \(ABCD\). Здесь длина отрезка \(BC_1\) совпадает с длиной стороны исходного квадрата, так как при таком повороте точки располагаются так, что \(BC_1 = 1\) см. Это связано с тем, что поворот на 90 градусов сохраняет длины сторон, и \(BC_1\) является стороной нового квадрата, равной стороне исходного.

Таким образом, в зависимости от направления поворота, длина отрезка \(BC_1\) может быть либо равна \(\sqrt{5}\) см при повороте по часовой стрелке, либо 1 см при повороте против часовой стрелки. Эти два варианта дают окончательный ответ задачи: \(BC_1 = \sqrt{5}\) см или \(BC_1 = 1\) см.