ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого на 7 см больше одного из катетов, а другой катет равен 21 см.

Дан катет \(a = 15\) см и медиана к гипотенузе \(m = 8{,}5\) см. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, значит гипотенуза \(c = 2 \times 8{,}5 = 17\) см.

По теореме Пифагора: \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\), отсюда \(17^{2} = 15^{2} + b^{2}\), то есть \(289 = 225 + b^{2}\), значит \(b^{2} = 64\), \(b = 8\) см.

Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60\) см\(^2\).

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен \(15\) см, а медиана, проведённая к гипотенузе, равна \(8{,}5\) см. Обозначим катеты как \(a = 15\) см и \(b\), гипотенузу как \(c\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: \(m = \frac{1}{2}c\). Однако по условию задачи медиана дана как \(8{,}5\) см, поэтому гипотенуза равна \(c = 2 \times 8{,}5 = 17\) см.

Для нахождения второго катета \(b\) используем теорему Пифагора: \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). Подставляем известные значения: \(17^{2} = 15^{2} + b^{2}\), то есть \(289 = 225 + b^{2}\). Тогда \(b^{2} = 289 — 225 = 64\), отсюда \(b = 8\) см.

Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле \(S = \frac{1}{2} \times a \times b\). Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = \frac{1}{2} \times 120 = 60\) см\(^2\).

Дополнительно можно проверить медиану через теорему о медиане: \(m_a^{2} = \frac{2b^{2} + 2a^{2} — c^{2}}{4}\). Подставим найденные значения: \(m_a^{2} = \frac{2 \times 8^{2} + 2 \times 15^{2} — 17^{2}}{4} = \frac{2 \times 64 + 2 \times 225 — 289}{4} = \frac{128 + 450 — 289}{4} = \frac{289}{4} = 72{,}25\). \(m_a = \sqrt{72{,}25} = 8{,}5\) см, что совпадает с условием задачи. Таким образом, все вычисления корректны, и площадь треугольника равна \(60\) см\(^2\).