ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали трапеции \( ABCD \) (\( BC \parallel AD \)) пересекаются в точке \( O \), \( AO : OC = 7 : 3 \), \( BD = 40 \) см. Найдите отрезок \( OD \).

Треугольники \(BOC\) и \(AOD\) подобны. Пусть \(BO = x\), тогда \(OD = 40 — x\). По условию \(AO : OC = 7 : 3\), значит \(\frac{x}{40-x} = \frac{3}{7}\).

Решаем пропорцию: \(7x = 3(40-x)\), \(7x = 120 — 3x\), \(10x = 120\), \(x = 12\).

Тогда \(OD = 40 — 12 = 28\) см.

Диагонали трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Из условия известно, что \(BC \parallel AD\), а также отношение \(AO : OC = 7 : 3\) и длина диагонали \(BD = 40\) см. Необходимо найти длину отрезка \(OD\).

Треугольники \(BOC\) и \(AOD\) подобны, так как они имеют по два равных угла: вертикальные углы при точке пересечения диагоналей равны, и углы при основаниях трапеции равны, так как основания параллельны. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. Пусть \(BO = x\), тогда \(OD = 40 — x\), так как вся диагональ \(BD\) состоит из отрезков \(BO\) и \(OD\).

Из подобия треугольников следует, что отношение сторон \(BO\) и \(OD\) равно отношению сторон \(OC\) и \(AO\), но в обратном порядке: \(\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{AO}\). По условию задачи \(AO : OC = 7 : 3\), значит \(\frac{AO}{OC} = \frac{7}{3}\), а \(\frac{OC}{AO} = \frac{3}{7}\). Подставляем обозначения: \(\frac{x}{40-x} = \frac{3}{7}\).

Решаем полученную пропорцию: \(7x = 3(40-x)\). Раскрываем скобки: \(7x = 120 — 3x\). Переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(7x + 3x = 120\), получаем \(10x = 120\). Делим обе части на 10: \(x = 12\). Тогда \(OD = 40 — 12 = 28\) см. Ответ: \(OD = 28\) см.