ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольник АВС вписан ромб CDEF так, как показано на рисунке 22.2. Найдите сторону ВС треугольника, если АС = 15 см, а сторона ромба равна 10 см.

В треугольниках \(BEF\) и \(DBC\) по двум углам есть подобие, поэтому \(\frac{EF}{DC} = \frac{BF}{BC}\).

Пусть \(BF = x\), тогда \(BC = 10 + x\).

Составим пропорцию: \(\frac{10}{15} = \frac{x}{10 + x}\).

Решаем: \(15x = 100 + 10x\), отсюда \(5x = 100\), значит \(x = 20\).

Итак, \(BC = 10 + 20 = 30\) см.

В данной задаче ромб вписан в треугольник таким образом, что его сторона равна \(10\) см, а одна из сторон треугольника, \(AC\), равна \(15\) см. Необходимо найти длину стороны \(BC\). Для этого воспользуемся свойством подобия треугольников. Треугольники \(BEF\) и \(DBC\) подобны по двум углам, поскольку один угол у них общий, а второй — вертикальные углы при пересечении диагоналей ромба и сторон треугольника.

Из подобия треугольников \(BEF\) и \(DBC\) следует равенство отношений соответствующих сторон: \(\frac{EF}{DC} = \frac{BF}{BC}\). Пусть \(BF = x\), тогда вся сторона \(BC\) состоит из двух отрезков: \(EF\) (сторона ромба) и \(BF\), то есть \(BC = 10 + x\). Подставляем известные значения: сторона ромба \(EF = 10\) см, сторона треугольника \(DC = 15\) см.

Составляем пропорцию: \(\frac{10}{15} = \frac{x}{10 + x}\). Перемножаем крест-накрест: \(10 \cdot (10 + x) = 15x\). Раскрываем скобки: \(100 + 10x = 15x\). Переносим \(10x\) в правую часть: \(100 = 15x — 10x\), получаем \(100 = 5x\). Отсюда \(x = \frac{100}{5} = 20\). Тогда длина стороны \(BC\) равна сумме: \(BC = 10 + 20 = 30\) см.