ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка D — середина стороны АВ треугольника АВС, точка Е — середина стороны ВС. Площадь четырёхугольника ADEC равна 27 см². Чему равна площадь треугольника АВС?

Найдём: \( S_{ABC} \)

Пусть \( S_{DBE} = x \), тогда \( S_{ABC} = 4x \).

По условию: \( S_{ADEC} = 4x — x = 27 \)

\( 3x = 27 \Rightarrow x = 9 \)

\( S_{ABC} = 4x = 36 \) (см\(^2\))

Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором точка \( D \) — середина стороны \( AB \), а точка \( E \) — середина стороны \( BC \). Если соединить эти точки и рассмотреть четырёхугольник \( ADEC \), то его площадь составляет \( 27 \) см\(^2\). Пусть площадь треугольника \( DBE \) равна \( x \), а площадь всего треугольника \( ABC \) равна \( 4x \), так как при соединении середины сторон треугольник разбивается на части, одна из которых (DBE) в четыре раза меньше всего треугольника.

Четырёхугольник \( ADEC \) состоит из площади всего треугольника \( ABC \) за вычетом площади маленького треугольника \( DBE \), то есть \( S_{ADEC} = S_{ABC} — S_{DBE} \). Подставляя значения, получаем: \( 27 = 4x — x \), отсюда \( 27 = 3x \), значит \( x = 9 \) см\(^2\).

Тогда площадь всего треугольника \( ABC \) равна \( S_{ABC} = 4x = 4 \cdot 9 = 36 \) см\(^2\).