ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает его сторону АВ в точке М, а сторону ВС — в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если ВМ = 3 см, АМ = 4 см, а площадь четырёхугольника АМКС равна 80 см².

Треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle MBK \) подобны, коэффициент подобия \( \frac{AB}{MB} = \frac{7}{3} \).

Площадь подобных треугольников относится как квадрат коэффициента: \( \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \left( \frac{7}{3} \right)^2 = \frac{49}{9} \).

Пусть площадь \( S_{MBK} = x \), тогда \( S_{ABC} = 80 + x \).

Составим уравнение: \( \frac{80 + x}{x} = \frac{49}{9} \).

\( 80 + x = \frac{49}{9}x \)

\( 80 = \frac{49}{9}x — x \)

\( 80 = \frac{40}{9}x \)

\( x = \frac{80 \cdot 9}{40} = 18 \)

\( S_{ABC} = 80 + 18 = 98 \)

В задаче рассматривается треугольник \( ABC \), в котором на стороне \( AB \) отмечена точка \( M \) так, что \( AM = 4 \) и \( MB = 3 \). Через точку \( M \) проведена прямая, параллельная стороне \( BC \), которая пересекает сторону \( AC \) в точке \( K \) и сторону \( BC \) в точке \( S \). Обозначим площадь четырёхугольника \( AMKS \) как \( 80 \), а площадь треугольника \( MBK \) как \( x \). Требуется найти площадь треугольника \( ABC \).

Заметим, что треугольники \( ABC \) и \( MBK \) подобны по двум углам: угол при вершине \( B \) общий, а угол при вершине \( K \) равен углу при вершине \( C \) как вертикальные при параллельных прямых. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению соответствующих сторон: \( \frac{AB}{MB} = \frac{AM + MB}{MB} = \frac{4 + 3}{3} = \frac{7}{3} \). Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \left( \frac{7}{3} \right)^2 = \frac{49}{9} \).

Площадь всего треугольника \( ABC \) складывается из площади четырёхугольника \( AMKS \) и площади треугольника \( MBK \): \( S_{ABC} = S_{AMKS} + S_{MBK} = 80 + x \). Подставим найденное ранее отношение площадей: \( \frac{80 + x}{x} = \frac{49}{9} \). Преобразуем это уравнение: \( 80 + x = \frac{49}{9}x \), далее \( 80 = \frac{49}{9}x — x \), то есть \( 80 = \frac{49 — 9}{9}x = \frac{40}{9}x \). Выразим \( x \): \( x = \frac{80 \cdot 9}{40} = 18 \).

Теперь вычислим площадь треугольника \( ABC \): \( S_{ABC} = 80 + 18 = 98 \).