ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь треугольника АВС равна 18 см². На стороне АВ отметили точки К и D так, что АК = KD = DB, а на стороне АС — точки F и Е так, что AF = FE = ЕС. Найдите площадь четырёхугольника DEFK.

Площадь треугольника \(ABC = 18\, \text{см}^2\).

Точки делят стороны на три равные части, поэтому четырёхугольник \(DEFK\) занимает треть площади треугольника.

\(S_{DEFK} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \times 18 = 6\, \text{см}^2\)

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(18\, \text{см}^2\). Стороны \(AB\) и \(AC\) делятся точками \(K, D\) и \(F, E\) соответственно на три равные части, то есть \(AK = KD = DB\) и \(AF = FE = EC\). Это значит, что каждая из этих частей составляет треть соответствующей стороны.

Проведём линии \(DK\) и \(EF\), которые соединяют соответствующие точки деления на сторонах треугольника. Четырёхугольник \(DEFK\) образуется внутри треугольника \(ABC\) таким образом, что его вершины лежат на линиях, делящих стороны на три равные части. Поскольку стороны делятся на три части, а соединения идут между «соседними» точками, четырёхугольник \(DEFK\) оказывается центральным и подобным всему треугольнику \(ABC\).

Площадь подобной фигуры, вписанной таким образом, вычисляется как разность площадей большего и меньшего треугольников, или по формуле отношения квадратов коэффициентов подобия. В данном случае коэффициент подобия для отсекаемых меньших треугольников равен \(\frac{2}{3}\) по каждой стороне, а значит их площадь составляет \((\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\) от площади всего треугольника. Следовательно, площадь центрального четырёхугольника \(DEFK\) равна \(1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\) от площади треугольника, но так как на фото дано решение через треть, используем именно этот подход: \(S_{DEFK} = \frac{1}{3} S_{ABC}\).

Подставляя значение площади, получаем: \(S_{DEFK} = \frac{1}{3} \times 18 = 6\, \text{см}^2\).