ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание данного треугольника.

В треугольнике \(ABH\): \(AH^2 = AB^2 — BH^2\).
\(AH = \sqrt{169 — 144} = 5\, \text{см}\).

В треугольнике \(AHE\): \(AC^2 = AH^2 + HE^2\).
\(AC = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\, \text{см}\).

Рассмотрим равнобедренный треугольник, где высота делит боковую сторону на два отрезка: один равен \(1\,\text{см}\), другой — \(12\,\text{см}\). Пусть вершина при основании — точка \(A\), а высота проведена из вершины \(B\) к основанию \(AC\), пересекает боковую сторону \(BC\) в точке \(H\). Тогда \(BH = 12\,\text{см}\), \(HC = 1\,\text{см}\), а вся боковая сторона \(BC = 13\,\text{см}\).

Для нахождения высоты используем теорему Пифагора в треугольнике \(ABH\):
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\),
где \(AB = BC = 13\,\text{см}\), \(BH = 12\,\text{см}\).
Перепишем формулу для высоты:
\(AH^2 = AB^2 — BH^2 = 13^2 — 12^2 = 169 — 144 = 25\),
следовательно, \(AH = \sqrt{25} = 5\,\text{см}\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(AHE\), где \(HE = 1\,\text{см}\) — второй отрезок, а \(AH = 5\,\text{см}\) — высота. Снова применим теорему Пифагора для нахождения основания \(AC\):
\(AC^2 = AH^2 + HE^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26\),
поэтому основание \(AC = \sqrt{26}\,\text{см}\).

В результате, основание данного равнобедренного треугольника равно \( \sqrt{26}\,\text{см} \).