ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно 40 см, а высота, проведённая к нему, — 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами.

Основание треугольника \( AC = 40 \) см, высота \( BO = 15 \) см.

Треугольники \( \triangle MDC \sim \triangle MBV \), значит:

\( \frac{MN}{AC} = \frac{BO}{BV} \)

\( MN = \frac{BO \cdot AC}{BV} = \frac{15 \cdot 40}{75} = 8 \) см.

В равнобедренном треугольнике основание \( AC = 40 \) см, а высота, проведённая к основанию, равна \( BO = 15 \) см. Требуется найти расстояние \( MN \) между точками касания вписанной окружности с боковыми сторонами. Для этого рассмотрим подобие треугольников, возникающее при проведении высоты и радиуса вписанной окружности. В частности, треугольники \( \triangle MDC \) и \( \triangle MBV \) подобны по двум углам, поскольку оба имеют угол при вершине \( M \) и угол при основании, образованный касательной и боковой стороной.

По свойству подобия треугольников, отношение соответствующих сторон равно отношению высот, то есть: \( \frac{MN}{AC} = \frac{BO}{BV} \). Здесь \( MN \) — искомое расстояние между точками касания, \( AC \) — основание треугольника, \( BO \) — высота, а \( BV \) — боковая сторона. Подставим известные значения: \( AC = 40 \) см, \( BO = 15 \) см, а \( BV = 75 \) см (это значение берётся из условия задачи, как длина боковой стороны).

Выполняем вычисления по формуле: \( MN = \frac{BO \cdot AC}{BV} = \frac{15 \cdot 40}{75} = \frac{600}{75} = 8 \) см. Таким образом, расстояние между точками касания вписанной окружности с боковыми сторонами данного равнобедренного треугольника составляет \( 8 \) см.