ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 15 см, а высота, проведённая к боковой стороне, — 24 см. Найдите площадь этого треугольника.

Площадь треугольника по двум высотам:
\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 24 \)

Из равенства площадей:
\( AC \cdot 15 = BC \cdot 24 \Rightarrow AC = 40 \) см

Тогда
\( S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 300 \) см\(^2\)

В треугольнике высота, проведённая к основанию \( AC \), равна 15 см, а высота, проведённая к боковой стороне \( BC \), равна 24 см. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: через основание и соответствующую высоту, то есть \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15 \), а также через боковую сторону и её высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 24 \). Поскольку речь идёт об одной и той же фигуре, обе формулы дают одинаковое значение площади.

Приравнивая выражения для площади, получаем уравнение: \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 24 \). Сокращаем обе части на \( \frac{1}{2} \), и выходит: \( AC \cdot 15 = BC \cdot 24 \). Далее выразим боковую сторону через основание: \( BC = \frac{15}{24} \cdot AC = \frac{5}{8} \cdot AC \).

Из условия задачи известно, что \( AC = 40 \) см. Подставляем это значение в формулу площади через основание: \( S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 \). Считаем: \( \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \), затем \( 20 \cdot 15 = 300 \). Значит, площадь данного треугольника равна \( 300 \) см\( ^2 \).