ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне ВС треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ : МС = 3 : 10. В каком отношении отрезок АМ делит медиану ВК треугольника АВС?

На стороне \(BC\) отметили точку \(M\), так что \(BM : MC = 3 : 10\).

Медиана \(BK\) проведена к стороне \(AC\), точка \(O\) — точка пересечения \(AM\) и \(BK\).

По свойству медиан и подобию треугольников \(BO : OK = 3 : 5\).

Пусть на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) выбрана точка \(M\) так, что \(BM : MC = 3 : 10\). Пусть \(K\) — середина стороны \(AC\), а \(BK\) — медиана. Проведём отрезок \(AM\), пересекающий медиану \(BK\) в точке \(O\). Требуется найти отношение \(BO : OK\).

Обозначим длины: пусть \(BM = 3x\), \(MC = 10x\), тогда \(BC = 13x\). Сторону \(AC\) обозначим как \(a\). Точка \(K\) — середина \(AC\), поэтому её координаты по оси \(AC\) — \(\frac{a}{2}\). Точку \(M\) можно выразить по оси \(BC\) как \(\frac{3}{13}\) от \(B\) до \(C\).

Рассмотрим треугольники \(BMK\) и \(MCK\). По теореме о пропорциональных отрезках и подобию треугольников, отрезок \(AM\) делит медиану \(BK\) в отношении, равном отношению частей \(BM\) и \(MC\), скорректированному с учётом того, что \(K\) — середина. В результате, отношение \(BO : OK\) будет равно \(3 : 5\), то есть \(BO = 3y\), \(OK = 5y\) для некоторого \(y\).

Итак, если на стороне \(BC\) отмечена точка \(M\) так, что \(BM : MC = 3 : 10\), то отрезок \(AM\) делит медиану \(BK\) треугольника \(ABC\) в отношении \(BO : OK = 3 : 5\).