ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС), равен 12 см, а расстояние от центра этой окружности до вершины В — 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Дано: радиус вписанной окружности \( r = 12 \) см, расстояние от центра окружности \( O \) до вершины \( B \) — \( BO = 20 \) см.

В треугольнике \( \triangle MBO \): \( MO = 12 \) см, \( BO = 20 \) см.

\( MB^2 = BO^2 — MO^2 = 20^2 — 12^2 = 400 — 144 = 256 \)

\( MB = \sqrt{256} = 16 \) см, значит \( BN = 16 \) см.

Периметр: \( P = 2AB + AC = 128 \) см.

В равнобедренном треугольнике \( ABC \), где \( AB = BC \), известно, что радиус вписанной окружности \( r = 12 \) см, а расстояние от центра окружности \( O \) до вершины \( B \) равно \( BO = 20 \) см. Введём обозначения: \( M \) и \( N \) — точки касания окружности с боковыми сторонами \( AB \) и \( BC \) соответственно, а \( H \) — точка касания с основанием \( AC \). По свойству касательных из одной точки к окружности отрезки \( MB \) и \( BN \) равны между собой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( MBO \), где \( MO \) — радиус окружности, а \( BO \) — расстояние от центра окружности до вершины. По теореме Пифагора: \( MB^{2} = BO^{2} — MO^{2} \). Подставляем значения: \( MB^{2} = 20^{2} — 12^{2} = 400 — 144 = 256 \). Тогда \( MB = \sqrt{256} = 16 \) см. Аналогично \( BN = 16 \) см, так как треугольник равнобедренный.

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон. Основание \( AC \) состоит из двух отрезков касательных, равных \( 2 \times 16 = 32 \) см, а боковые стороны \( AB \) и \( BC \) равны между собой и выражаются как сумма двух радиусов и двух отрезков касательных: \( AB = BC = 12 + 16 + 12 + 16 = 56 \) см. Тогда периметр \( P = 2 \times 48 + 32 = 128 \) см.