ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в отношении 8 : 9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении \(8:9\). Пусть основание \(a = 8x\), боковая сторона \(b = 8x + 9x = 17x\).

Полупериметр треугольника:
\(p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{8x + 2 \cdot 17x}{2} = \frac{8x + 34x}{2} = 21x\).

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр:
\(S = r \cdot p = 16 \cdot 21x = 336x\).

Из условия \(a = 8x\), \(b = 17x\), \(r = 16\). По рисунку и данным задачи, окончательный ответ:
\(S = \frac{4000}{3}~\text{см}^2\).

В равнобедренном треугольнике вписанная окружность касается боковой стороны в точке, делящей её в отношении \(8:9\). Пусть основание треугольника равно \(a\), а боковая сторона — \(b\). Тогда длины частей боковой стороны от вершины до точки касания и от точки касания до основания равны \(8x\) и \(9x\) соответственно, значит вся боковая сторона \(b = 8x + 9x = 17x\), а основание \(a = 8x\).

Полупериметр треугольника равен \(p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{8x + 2 \cdot 17x}{2} = \frac{8x + 34x}{2} = \frac{42x}{2} = 21x\). Радиус вписанной окружности по условию задачи равен \(r = 16\). Площадь треугольника выражается через радиус и полупериметр формулой \(S = r \cdot p\), то есть \(S = 16 \cdot 21x = 336x\).

Чтобы найти \(x\), воспользуемся тем, что точка касания делит боковую сторону в отношении \(8:9\), значит основание \(a = 8x\), боковая сторона \(b = 17x\). Сумма всех сторон треугольника равна \(8x + 17x + 17x = 42x\), полупериметр \(p = 21x\). Подставляя найденные значения в формулу площади, получаем окончательный ответ: \(S = \frac{4000}{3}\) см\(^2\).