ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота \( AD \) треугольника \( ABC \) делит сторону \( BC \) на отрезки \( BD \) и \( CD \) так, что \( BD = 15 \) см, \( CD = 5 \) см. Найдите сторону \( AC \), если \(\angle B = 30^\circ\).

Сначала используем тангенс угла \(30^\circ\) в треугольнике \(ABD\):

\(\tan 30^\circ = \frac{AD}{BD}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AD}{15}\)

\(AD = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\) см

Теперь находим \(AC\) по теореме Пифагора в треугольнике \(ADC\):

\(AC^2 = AD^2 + CD^2\)

\(AC^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2 = 75 + 25 = 100\)

\(AC = \sqrt{100} = 10\) см

Для начала рассмотрим треугольник \(ABD\), где высота \(AD\) проведена из вершины \(A\) к стороне \(BC\). По условию задачи, угол при вершине \(B\) равен \(30^\circ\), а отрезок \(BD\) составляет \(15\) см. Высота \(AD\) перпендикулярна основанию \(BC\), поэтому можно использовать тригонометрическую функцию тангенса для вычисления длины высоты. По определению, \(\tan 30^\circ = \frac{AD}{BD}\). Подставляем известные значения: \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), значит, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AD}{15}\). Отсюда получаем \(AD = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\) см.

Далее переходим к треугольнику \(ADC\), где нужно найти сторону \(AC\). По условию задачи, отрезок \(CD\) равен \(5\) см. Треугольник \(ADC\) является прямоугольным, так как высота \(AD\) перпендикулярна стороне \(BC\). Поэтому для нахождения стороны \(AC\) применяем теорему Пифагора: \(AC^2 = AD^2 + CD^2\). Подставляем найденные значения: \(AC^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2\). Возводим в квадрат: \((5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75\), \(5^2 = 25\). Складываем: \(AC^2 = 75 + 25 = 100\).

Теперь находим длину стороны \(AC\), извлекая квадратный корень из полученного значения: \(AC = \sqrt{100} = 10\) см. Таким образом, сторона \(AC\) равна \(10\) см, что полностью согласуется с вычислениями, приведёнными на фото. Все вычисления выполнены строго по тригонометрическим и геометрическим свойствам прямоугольных треугольников, используя значения, приведённые в условии задачи.