ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две стороны треугольника, угол между которыми равен 60°, относятся как 5 : 8, а третья сторона равна 21 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть стороны \(AB = 5x\), \(BC = 8x\), угол между ними \(60^\circ\), а третья сторона \(AC = 21\).

По теореме косинусов:
\(21^2 = (5x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 5x \cdot 8x \cdot \cos 60^\circ\)

\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), тогда:
\(441 = 25x^2 + 64x^2 — 80x^2 \cdot \frac{1}{2}\)
\(441 = 25x^2 + 64x^2 — 40x^2\)
\(441 = 49x^2\)

\(x^2 = \frac{441}{49}\)
\(x = \frac{21}{7} = 3\)

\(AB = 5x = 15\) см
\(BC = 8x = 24\) см

Пусть стороны треугольника обозначим как \(AB = 5x\) и \(BC = 8x\), где \(x\) — некоторое число, а угол между ними равен \(60^\circ\). Третья сторона \(AC = 21\). Для нахождения неизвестных сторон используем теорему косинусов, которая для данного случая записывается так: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(60^\circ)\). Подставим значения: \(21^2 = (5x)^2 + (8x)^2 — 2 \cdot 5x \cdot 8x \cdot \cos(60^\circ)\).

Вычислим отдельно каждое слагаемое: \((5x)^2 = 25x^2\), \((8x)^2 = 64x^2\), \(2 \cdot 5x \cdot 8x = 80x^2\). Учитывая, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), имеем: \(80x^2 \cdot \frac{1}{2} = 40x^2\). Теперь соберём всё вместе: \(441 = 25x^2 + 64x^2 — 40x^2\). Преобразуем выражение: \(25x^2 + 64x^2 — 40x^2 = 49x^2\).

Далее решаем уравнение для \(x\): \(441 = 49x^2\), отсюда \(x^2 = \frac{441}{49}\). Извлекаем корень: \(x = \frac{21}{7} = 3\). Подставляем найденное значение в выражения для сторон: \(AB = 5x = 15\) см, \(BC = 8x = 24\) см. Таким образом, искомые стороны треугольника равны \(15\) см и \(24\) см.