ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.42 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма двух сторон треугольника равна 16 см, а угол между ними — 120°. Найдите меньшую из этих сторон, если третья сторона треугольника равна 14 см.

Пусть стороны треугольника \(x\) и \(16-x\), угол между ними \(120^\circ\), третья сторона \(14\). По теореме косинусов: \(14^2 = x^2 + (16-x)^2 — 2x(16-x)\cos120^\circ\).

Подставляем \(\cos120^\circ = -\frac{1}{2}\): \(196 = x^2 + (16-x)^2 + x(16-x)\).

Раскрываем скобки: \(196 = x^2 + 256 — 32x + x^2 + 16x — x^2\), упрощаем: \(196 = x^2 + 256 — 16x\).

Переносим всё в одну сторону: \(x^2 — 16x + 60 = 0\).

Решаем: \(x = \frac{16 \pm 4}{2}\), получаем \(x = 6\) и \(x = 10\).

Ответ: меньшая сторона равна \(6\) см.

Пусть стороны треугольника равны \(x\) и \(16-x\), угол между ними составляет \(120^\circ\), а третья сторона равна \(14\). По теореме косинусов запишем уравнение для стороны, противолежащей углу \(120^\circ\):

\(14^2 = x^2 + (16-x)^2 — 2x(16-x)\cos120^\circ\).

Подставим значения: \(14^2 = 196\), \(\cos120^\circ = -\frac{1}{2}\). Тогда:

\(196 = x^2 + (16-x)^2 — 2x(16-x)\left(-\frac{1}{2}\right)\).

Раскроем скобки: \((16-x)^2 = 256 — 32x + x^2\), а \(-2x(16-x)\left(-\frac{1}{2}\right) = x(16-x)\). Получаем:

\(196 = x^2 + 256 — 32x + x^2 + x(16-x)\).

Раскроем \(x(16-x)\): \(x(16-x) = 16x — x^2\). Подставим и упростим:

\(196 = x^2 + 256 — 32x + x^2 + 16x — x^2\).

Соберём подобные члены: \(x^2 + x^2 — x^2 = x^2\), \(-32x + 16x = -16x\):

\(196 = x^2 + 256 — 16x\).

Переносим всё в одну сторону:

\(x^2 — 16x + 60 = 0\).

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 — 240 = 16\).

Находим корни:

\(x_1 = \frac{16-4}{2} = 6\), \(x_2 = \frac{16+4}{2} = 10\).

Итак, меньшая сторона равна \(6\) см.