ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.43 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол А треугольника АВС, если ВС = 7 см, АС = 3 см, АВ = 8 см.

Решение по косинусу:

По теореме косинусов:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \)

Подставляем значения:
\( 7^2 = 8^2 + 3^2 — 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos \angle A \)

\( 49 = 64 + 9 — 48 \cdot \cos \angle A \)

\( 49 = 73 — 48 \cdot \cos \angle A \)

\( 49 — 73 = -48 \cdot \cos \angle A \)

\( -24 = -48 \cdot \cos \angle A \)

\( \cos \angle A = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} \)

\( \angle A = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \)

Для нахождения угла \(A\) в треугольнике \(ABC\), где известны все стороны, используется теорема косинусов. Она позволяет выразить косинус любого угла через длины сторон треугольника. Формула для угла \(A\) выглядит так: \( BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \). В данной задаче сторона \(BC = 7\), \(AB = 8\), \(AC = 3\).

Подставляем все значения в формулу: \( 7^{2} = 8^{2} + 3^{2} — 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos A \). Вычисляем значения степеней: \( 49 = 64 + 9 — 48 \cdot \cos A \). Складываем числа справа: \( 49 = 73 — 48 \cdot \cos A \). Переносим 73 в левую часть уравнения: \( 49 — 73 = -48 \cdot \cos A \), получаем \( -24 = -48 \cdot \cos A \).

Теперь делим обе части уравнения на \(-48\), чтобы выразить \(\cos A\): \( \cos A = \frac{24}{48} \). Сокращаем дробь: \( \cos A = \frac{1}{2} \). Чтобы найти угол \(A\), используем арккосинус: \( A = \arccos \frac{1}{2} \). Значение арккосинуса от \(\frac{1}{2}\) равно \(60^{\circ}\). Таким образом, угол \(A\) равен \(60^{\circ}\).