ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.46 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь круга, описанного около треугольника со сторонами 7 см, 8 см и 9 см.

Сначала используем теорему косинусов для нахождения \(\cos \beta\):

\(8^2 = 7^2 + 9^2 — 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos \beta\)

\(64 = 49 + 81 — 126 \cos \beta\)

\(64 = 130 — 126 \cos \beta\)

\(126 \cos \beta = 66\)

\(\cos \beta = \frac{66}{126} = \frac{2}{7}\)

Далее находим \(\sin \beta\):

\(\sin \beta = \sqrt{1 — \left(\frac{2}{7}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7}\)

Радиус описанной окружности:

\(R = \frac{ac}{2 \sin \beta} = \frac{9}{2 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}} = \frac{9 \cdot 7}{6\sqrt{5}} = \frac{63}{6\sqrt{5}} = \frac{21}{2\sqrt{5}}\)

Площадь круга:

\(S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{21}{2\sqrt{5}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{441}{20}\)

Ответ:

\(S = \pi \cdot \frac{441}{20}\) (см\(^2\))

Для нахождения площади круга, описанного около треугольника со сторонами 7, 8 и 9, сначала используем теорему косинусов для вычисления косинуса угла между сторонами 7 и 9. Подставляем значения: \(8^{2} = 7^{2} + 9^{2} — 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos \beta\), получаем \(64 = 49 + 81 — 126 \cos \beta\), отсюда \(64 = 130 — 126 \cos \beta\), значит \(126 \cos \beta = 66\), и далее \(\cos \beta = \frac{66}{126} = \frac{2}{7}\).

Для площади треугольника требуется синус этого угла. Находим его по формуле: \(\sin \beta = \sqrt{1 — \left(\frac{2}{7}\right)^{2}}\). Считаем: \(\left(\frac{2}{7}\right)^{2} = \frac{4}{49}\), поэтому \(\sin \beta = \sqrt{1 — \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7}\).

Радиус описанной окружности вычисляем по формуле \(R = \frac{ac}{2 \sin \beta}\), где \(a = 7\), \(c = 9\), а \(\sin \beta = \frac{3\sqrt{5}}{7}\). Получаем: \(R = \frac{7 \cdot 9}{2 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}}\). Сначала перемножим числитель: \(7 \cdot 9 = 63\), а знаменатель: \(2 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{7} = \frac{6\sqrt{5}}{7}\). Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную: \(R = 63 \cdot \frac{7}{6\sqrt{5}} = \frac{441}{6\sqrt{5}} = \frac{21}{2\sqrt{5}}\).

Площадь круга находим по формуле \(S = \pi R^{2}\). Подставляем найденное значение радиуса: \(S = \pi \left(\frac{21}{2\sqrt{5}}\right)^{2}\). Возведём в квадрат: числитель \(21^{2} = 441\), знаменатель \((2\sqrt{5})^{2} = 4 \cdot 5 = 20\), получаем \(S = \pi \cdot \frac{441}{20}\).

Ответ: \(S = \pi \cdot \frac{441}{20}\) (см\(^{2}\)).