ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.48 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Одна из сторон треугольника равна 25 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны. Найдите радиус вписанной окружности.

Дано: стороны треугольника \(AB = 25\) см, \(BH = 8\) см, \(HC = 22\) см, значит \(BC = 8 + 22 = 30\) см, \(AC = 30\) см.

1. Полупериметр:
\(p = \frac{25 + 30 + 30}{2} = 42{,}5\) см

2. Площадь по формуле Герона:
\(S = \sqrt{42{,}5 \cdot 17{,}5 \cdot 12{,}5 \cdot 12{,}5} = \frac{85 \sqrt{5}}{2}\) см\(^2\)

3. Радиус вписанной окружности:
\(r = \frac{S}{p} = \frac{85 \sqrt{5}/2}{42{,}5} = \sqrt{5}\) см

Для решения задачи сначала определим стороны треугольника. Из условия известно, что одна из сторон равна \(25\) см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной \(8\) см и \(22\) см. Это значит, что вторая сторона равна \(8 + 22 = 30\) см. Так как вписанная окружность делит третью сторону аналогично, то третья сторона также равна \(30\) см. Таким образом, стороны треугольника: \(AB = 25\) см, \(BC = 30\) см, \(AC = 30\) см.

Вычислим полупериметр треугольника по формуле: \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{25 + 30 + 30}{2} = 42{,}5\) см. Это значение понадобится для вычисления площади треугольника и радиуса вписанной окружности.

Площадь треугольника найдём по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(a = 25\), \(b = 30\), \(c = 30\). Подставляем значения: \(S = \sqrt{42{,}5 \cdot (42{,}5 — 25) \cdot (42{,}5 — 30) \cdot (42{,}5 — 30)}=\)
\( = \sqrt{42{,}5 \cdot 17{,}5 \cdot 12{,}5 \cdot 12{,}5}\). Упрощаем: \(S = \sqrt{42{,}5 \cdot 17{,}5 \cdot 156{,}25}\). После преобразования и вычислений получаем \(S = \frac{85 \sqrt{5}}{2}\) см\(^{2}\).

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: \(r = \frac{S}{p}\). Подставляем значения: \(r = \frac{\frac{85 \sqrt{5}}{2}}{42{,}5} = \frac{85 \sqrt{5}}{2 \cdot 42{,}5} = \frac{85 \sqrt{5}}{85} = \sqrt{5}\) см.