ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой, если одна из наклонных на 2 см больше другой.

Пусть длины наклонных: \(x\) и \(x+2\).

Применяем теорему Пифагора для каждой наклонной:
\(x^2 = h^2 + 25\)
\((x+2)^2 = h^2 + 81\)

Вычтем первое уравнение из второго:
\((x+2)^2 — x^2 = 81 — 25\)
\(x^2 + 4x + 4 — x^2 = 56\)
\(4x + 4 = 56\)
\(4x = 52\)
\(x = 13\)

Подставляем в первое уравнение:
\(13^2 = h^2 + 25\)
\(169 = h^2 + 25\)
\(h^2 = 144\)
\(h = 12\) (см)

Пусть из точки к прямой проведены две наклонные, одна из которых на 2 см длиннее другой. Обозначим меньшую наклонную через \(x\), тогда большая равна \(x+2\). Проекции этих наклонных на прямую составляют соответственно 5 см и 9 см. Обозначим расстояние от точки до прямой через \(h\).

Для каждой наклонной применяем теорему Пифагора: квадрат длины наклонной равен сумме квадратов расстояния \(h\) и соответствующей проекции. Для первой наклонной: \(x^2 = h^2 + 5^2\), то есть \(x^2 = h^2 + 25\). Для второй наклонной: \((x+2)^2 = h^2 + 9^2\), то есть \((x+2)^2 = h^2 + 81\).

Выполним вычитание первого уравнения из второго: \((x+2)^2 — x^2 = (h^2 + 81) — (h^2 + 25)\). Получаем: \(x^2 + 4x + 4 — x^2 = 81 — 25\), что упрощается до \(4x + 4 = 56\). Отсюда \(4x = 52\), то есть \(x = 13\).

Теперь найдем \(h\), подставив найденное значение \(x\) в первое уравнение: \(13^2 = h^2 + 25\), то есть \(169 = h^2 + 25\). Тогда \(h^2 = 169 — 25 = 144\), значит \(h = 12\) см. Ответ: расстояние от точки до прямой равно 12 см.