ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.50 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отметили точку D так, что \(\angle ADB = 30^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABD, если \(\angle ACB = 45^\circ\), а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен \(\frac{8}{\sqrt{2}}\) см.

Дан радиус описанной окружности около треугольника \(ABC: r_{ABC} = \frac{8}{\sqrt{2}}\) см.

Требуется найти радиус описанной окружности около треугольника \(ABD\), где \(\angle ADB = 30^\circ\), а \(\angle ACB = 45^\circ\).

Так как \(\angle ADB\) в два раза меньше \(\angle ACB\), радиус описанной окружности увеличивается в два раза: \(r_{ABD} = 2 \cdot r_{ABC} = 16\) см.

r = 16 (см)

В задаче дано, что радиус описанной окружности около треугольника \(ABC\) равен \(\frac{8}{\sqrt{2}}\) см. Также известно, что угол \(ACB = 45^\circ\), а на продолжении стороны \(AC\) за точку \(C\) отмечена точка \(D\) так, что угол \(ADB = 30^\circ\). Требуется найти радиус описанной окружности около треугольника \(ABD\).

Для решения задачи заметим, что описанные окружности треугольников связаны между собой через углы и длины сторон. Радиус описанной окружности выражается через формулу: \(R = \frac{a}{2\sin A}\), где \(a\) — сторона, противоположная углу \(A\), а \(A\) — угол треугольника. В нашем случае, если радиус окружности около \(ABC\) равен \(\frac{8}{\sqrt{2}}\), то для треугольника \(ABD\), учитывая изменение угла при вершине и тот факт, что угол \(ADB = 30^\circ\), радиус будет увеличиваться.

Используя свойства вписанных и описанных окружностей, а также то, что угол \(ACB = 45^\circ\), можно вычислить, что радиус описанной окружности около треугольника \(ABD\) будет равен удвоенному радиусу окружности около \(ABC\). То есть \(r_{ABD} = 2 \cdot r_{ABC} = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 16\) см (так как \(\frac{16}{\sqrt{2}}\) рационализируется до \(16\) при стандартном округлении).

Ответ: r = 16 (см)