ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.51 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана треугольника, проведённая к его третьей стороне, равна \(\sqrt{46}\) см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Пусть стороны треугольника: \(AB = 6\), \(BC = 8\), \(AC = x\). Медиана \(BM\), проведённая к стороне \(AC\), равна \(\sqrt{46}\).

По формуле длины медианы:
\(BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 — AC^2}\)

Подставляем значения:
\(\sqrt{46} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 — x^2}\)

\(\sqrt{46} = \frac{1}{2} \sqrt{72 + 128 — x^2}\)

\(2\sqrt{46} = \sqrt{200 — x^2}\)

\(4 \cdot 46 = 200 — x^2\)

\(184 = 200 — x^2\)

\(x^2 = 200 — 184\)

\(x^2 = 16\)

\(x = 4\) см

В задаче даны две стороны треугольника: \(AB = 6\) см и \(BC = 8\) см. Также известно, что медиана \(BM\), проведённая к третьей стороне \(AC\), равна \( \sqrt{46} \) см. Требуется найти длину стороны \(AC\). Для этого используем формулу длины медианы, которая выводится из теоремы косинусов и свойств медианы. Формула медианы к стороне \(a\) в треугольнике с сторонами \(a\), \(b\), \(c\) выглядит так: \(m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 — a^2}\). В данной задаче \(a = AC = x\), \(b = AB = 6\), \(c = BC = 8\), а медиана \(BM = \sqrt{46}\).

Подставляем известные значения в формулу медианы: \(BM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 — x^2}\). Получаем: \( \sqrt{46} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 36 + 2 \cdot 64 — x^2} \). Вычисляем: \(2 \cdot 36 = 72\), \(2 \cdot 64 = 128\), суммируем: \(72 + 128 = 200\). Тогда формула принимает вид: \( \sqrt{46} = \frac{1}{2} \sqrt{200 — x^2} \). Чтобы избавиться от дроби, обе части умножаем на 2: \(2 \sqrt{46} = \sqrt{200 — x^2}\).

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы убрать корень: \( (2 \sqrt{46})^2 = ( \sqrt{200 — x^2} )^2 \), то есть \( 4 \cdot 46 = 200 — x^2 \). Получаем: \(184 = 200 — x^2\). Переносим \(x^2\) влево, а 184 вправо: \(x^2 = 200 — 184\), то есть \(x^2 = 16\). Находим \(x\) как положительный корень, поскольку сторона треугольника не может быть отрицательной: \(x = 4\) см. Таким образом, третья сторона треугольника равна 4 см.