ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.53 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медиана СМ треугольника АВС образует со сторонами АС и ВС углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, ВС = а. Найдите медиану СМ.

Медиана \(CM\) треугольника \(ABC\) соединяет вершину \(C\) с серединой \(M\) стороны \(AB\). Пусть сторона \(BC = a\), а углы между медианой \(CM\) и сторонами \(AC\) и \(BC\) равны \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно.

По теореме синусов в треугольнике \(CBM\) имеем:

\[
\frac{CM}{\sin(\angle B)} = \frac{\frac{a}{2}}{\sin(\alpha + \beta)}
\]

где \(\angle B = 2\alpha\).

Отсюда длина медианы выражается как

\[
CM = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}
\]

Медиана \(CM\) треугольника \(ABC\) — это отрезок, соединяющий вершину \(C\) с серединой \(M\) стороны \(AB\). Пусть сторона \(BC = a\), а углы между медианой \(CM\) и сторонами \(AC\) и \(BC\) равны \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Необходимо выразить длину медианы через данные параметры.

Для нахождения длины медианы \(CM\) применим теорему о медиане в треугольнике: длина медианы, проведённой к стороне \(a\), равна \(m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^{2} + 2c^{2} — a^{2}}\). Но в данной задаче используются углы между медианой и сторонами, поэтому применим тригонометрию. Из рисунка видно, что медиана делит сторону \(AB\) пополам, а углы \(\alpha\) и \(\beta\) расположены у вершины \(C\) между медианой и сторонами \(AC\) и \(BC\).

Рассмотрим треугольник \(CBM\), где точка \(M\) — середина \(AB\). По теореме синусов: \(\frac{CM}{\sin(\angle B)} = \frac{a/2}{\sin(\alpha + \beta)}\), где \(\angle B = 2\alpha\). Отсюда, длина медианы \(CM\) выражается как \(\frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}\). Таким образом, окончательная формула для медианы:

\(
CM = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha}
\)