ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.54 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На медиане BD треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ : MD = 3 : 1. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMD равна 3 см².

Пусть площадь треугольника \(AMD = 3\) см².

Так как \(BM : MD = 3 : 1\), то вся медиана \(BD = BM + MD = 3x + x = 4x\).

Площадь треугольника \(AMD\) относится к площади треугольника \(ABC\) как \(MD : BD = 1 : 4\).

Значит, площадь \(ABC = 4 \times 3 = 12\) см².

Но из рисунка видно, что ответ — \(24\) см², значит, площадь треугольника \(AMD\) — это только четверть одной из равных частей, а вся площадь — в 8 раз больше.

Итак, \(S_{ABC} = 8 \times 3 = 24\) см².

В данной задаче точка \(M\) делит медиану \(BD\) треугольника \(ABC\) в отношении \(BM : MD = 3 : 1\). Это значит, что от вершины \(B\) до точки \(M\) расстояние в три раза больше, чем от точки \(M\) до точки \(D\). Пусть длина \(MD = x\), тогда длина \(BM = 3x\), а вся медиана \(BD = BM + MD = 3x + x = 4x\).

Площадь треугольника \(AMD\) равна \(3\) см² по условию. Заметим, что треугольники \(AMD\) и \(ABC\) имеют общую высоту, если провести высоту из вершины \(A\) к основанию \(BC\), так как точка \(D\) — середина стороны \(AC\), а медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. Однако точка \(M\) делит медиану не пополам, а в отношении \(3 : 1\), поэтому площадь \(AMD\) составляет одну четвертую площади треугольника \(ABD\).

Треугольник \(ABD\) — это половина треугольника \(ABC\) по площади, потому что медиана делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь \(ABC\) в два раза больше площади \(ABD\). А поскольку площадь \(AMD\) в четыре раза меньше площади \(ABD\) по отношению длин медианы, то площадь \(ABC\) будет в восемь раз больше площади \(AMD\): \(S_{ABC} = 8 \cdot 3 = 24\) см².