ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.55 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь треугольника АВС равна 40 см². На медиане АМ отметили точку Р такую, что АР : PM = 2 : 3. Найдите площадь треугольника ВРМ.

Пусть медиана \(AM\) делится точкой \(P\) в отношении \(AR : PM = 2 : 3\).

Площадь треугольника \(ABC = 40\) см².

Площадь треугольника \(BRM\) составляет \(\frac{12}{40}\) от площади всего треугольника, так как точка \(P\) делит медиану в отношении \(2:3\).

Тогда \(S_{BRM} = 12\) см².

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(40~\text{см}^{2}\). Рассмотрим медиану \(AM\), которая делит сторону \(BC\) пополам, а точка \(P\) делит медиану в отношении \(AR : PM = 2 : 3\). Это значит, что длина \(AP\) составляет \(2\) части, а длина \(PM\) — \(3\) такие же части, то есть вся медиана состоит из \(5\) равных частей.

Площадь треугольника \(BRM\) относится к площади треугольника \(ABC\) как площадь соответствующего меньшего треугольника, образованного вершиной \(B\), точкой \(R\) на медиане и точкой \(M\) — серединой стороны \(BC\). Поскольку точка \(P\) делит медиану в отношении \(2:3\), то площадь треугольника \(ARM\) будет составлять \(\frac{2}{5}\) от площади треугольника \(ABM\), а площадь треугольника \(PRM\) — \(\frac{3}{5}\) от площади \(ABM\). Однако нам нужно найти площадь треугольника \(BRM\), который получается из разности площадей соответствующих частей, учитывая, что медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника (\(ABM\) и \(ACM\)), то есть каждый по \(20~\text{см}^{2}\).

Площадь искомого треугольника \(BRM\) равна \(\frac{3}{5}\) от площади треугольника \(ABM\), а значит \(S_{BRM} = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12~\text{см}^{2}\).